Номер 31, страница 169 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

31. Вычислите с помощью свойств корня n-й степени:

а) $ \sqrt[3]{27 \cdot 125}; $

б) $ \sqrt[5]{243 \cdot 0,00032}; $

в) $ \sqrt[3]{\frac{1000}{0,008}}; $

г) $ \sqrt[4]{\frac{0,0081}{625}}. $

а) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{27 \cdot 125}$ воспользуемся свойством корня n-ой степени из произведения: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Таким образом, мы можем разбить корень на произведение двух корней:
$\sqrt[3]{27 \cdot 125} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{125}$.
Поскольку $3^3 = 27$ и $5^3 = 125$, то $\sqrt[3]{27} = 3$ и $\sqrt[3]{125} = 5$.
Перемножив результаты, получаем: $3 \cdot 5 = 15$.
Ответ: 15.

б) Для вычисления $\sqrt[5]{243 \cdot 0,00032}$ применим свойство корня из произведения:
$\sqrt[5]{243 \cdot 0,00032} = \sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{0,00032}$.
Находим каждый корень отдельно. Мы знаем, что $3^5 = 243$, следовательно $\sqrt[5]{243} = 3$.
Десятичную дробь $0,00032$ можно представить как $(0,2)^5$, так как $2^5 = 32$ и в числе пять знаков после запятой. Значит, $\sqrt[5]{0,00032} = 0,2$.
Теперь перемножим полученные значения: $3 \cdot 0,2 = 0,6$.
Ответ: 0,6.

в) Для вычисления $\sqrt[3]{\frac{1000}{0,008}}$ используем свойство корня n-ой степени из частного: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
$\sqrt[3]{\frac{1000}{0,008}} = \frac{\sqrt[3]{1000}}{\sqrt[3]{0,008}}$.
Вычисляем корень из числителя: $10^3 = 1000$, поэтому $\sqrt[3]{1000} = 10$.
Вычисляем корень из знаменателя: $0,008 = (0,2)^3$, поэтому $\sqrt[3]{0,008} = 0,2$.
Разделим результаты: $\frac{10}{0,2} = \frac{100}{2} = 50$.
Ответ: 50.

г) Для вычисления $\sqrt[4]{\frac{0,0081}{625}}$ снова используем свойство корня из частного: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
$\sqrt[4]{\frac{0,0081}{625}} = \frac{\sqrt[4]{0,0081}}{\sqrt[4]{625}}$.
Находим корень из числителя: $0,0081 = \frac{81}{10000} = (\frac{3}{10})^4 = (0,3)^4$. Следовательно, $\sqrt[4]{0,0081} = 0,3$.
Находим корень из знаменателя: $5^4 = 625$, следовательно $\sqrt[4]{625} = 5$.
Теперь делим одно на другое: $\frac{0,3}{5} = \frac{3/10}{5} = \frac{3}{50} = 0,06$.
Ответ: 0,06.