Номер 24, страница 169 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

24. Найдите значение выражения:

а) $\text{arctg}\left(\text{ctg}\frac{\pi}{3}\right);$

б) $\text{arcctg}\left(\text{sin}\frac{3\pi}{2}\right);$

в) $\text{arccos}\left(\text{sin}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right);$

г) $\text{arcsin}\left(2\text{cos}\frac{\pi}{2}\right);$

д) $\text{arccos}\left(3\text{sin}\pi\right);$

е) $\text{arcctg}\left(\sqrt{3}\text{cos}4\pi\right).$

а) $\operatorname{arctg}(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3})$
Сначала вычислим значение выражения в скобках. Котангенс угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным значением:
$\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Теперь найдем арктангенс этого значения: $\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$. По определению, арктангенс — это угол в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$.
Таким образом: $\operatorname{arctg}(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3}) = \operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

б) $\operatorname{arcctg}(\sin \frac{3\pi}{2})$
Сначала вычислим значение синуса:
$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$.
Теперь необходимо найти $\operatorname{arcctg}(-1)$. Арккотангенс — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен -1. Этим углом является $\frac{3\pi}{4}$.
Таким образом: $\operatorname{arcctg}(\sin \frac{3\pi}{2}) = \operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

в) $\arccos(\sin(-\frac{\pi}{3}))$
Сначала вычислим значение синуса. Функция синус является нечетной, поэтому $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3})$. Значение $\sin(\frac{\pi}{3})$ является табличным:
$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь необходимо найти $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Арккосинус — это угол в интервале $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Для нахождения этого угла можно использовать формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Таким образом: $\arccos(\sin(-\frac{\pi}{3})) = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

г) $\arcsin(2\cos\frac{\pi}{2})$
Сначала вычислим значение выражения в скобках:
$\cos\frac{\pi}{2} = 0$.
Следовательно, $2\cos\frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0$.
Теперь найдем арксинус этого значения: $\arcsin(0)$. Арксинус — это угол в интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 0. Этим углом является 0.
Таким образом: $\arcsin(2\cos\frac{\pi}{2}) = \arcsin(0) = 0$.
Ответ: 0.

д) $\arccos(3\sin\pi)$
Сначала вычислим значение выражения в скобках:
$\sin\pi = 0$.
Следовательно, $3\sin\pi = 3 \cdot 0 = 0$.
Теперь найдем арккосинус этого значения: $\arccos(0)$. Арккосинус — это угол в интервале $[0, \pi]$, косинус которого равен 0. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$.
Таким образом: $\arccos(3\sin\pi) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

е) $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}\cos4\pi)$
Сначала вычислим значение выражения в скобках. Функция косинус имеет период $2\pi$, поэтому $\cos(4\pi) = \cos(0) = 1$.
Следовательно, $\sqrt{3}\cos4\pi = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$.
Теперь найдем арккотангенс этого значения: $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3})$. Арккотангенс — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$.
Таким образом: $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}\cos4\pi) = \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.