Номер 17, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

17. Найдите:

а) $\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$, если $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$;

б) $\text{tg}(\alpha - \beta)$, если $\sin\alpha = \frac{12}{13}$, $\cos\beta = \frac{3}{5}$, $\alpha$ и $\beta$ — углы первой четверти.

а) Для нахождения $ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) $ воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

В нашем случае $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ y = \alpha $. Подставляем в формулу: $ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4} \sin\alpha $.

Мы знаем, что $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Также по условию $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $.

Нам нужно найти $ \cos\alpha $. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $: $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.

Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $.

По условию угол $ \alpha $ принадлежит второй четверти ($ \alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi) $), где косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos\alpha = -\frac{4}{5} $.

Теперь подставим все известные значения в формулу синуса суммы: $ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{4}{5}) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{4\sqrt{2}}{10} + \frac{3\sqrt{2}}{10} = \frac{3\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{10} = -\frac{\sqrt{2}}{10} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{10} $

б) Для нахождения $ \text{tg}(\alpha - \beta) $ воспользуемся формулой тангенса разности: $ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta} $.

Нам нужно найти $ \text{tg}\alpha $ и $ \text{tg}\beta $.

1. Найдем $ \text{tg}\alpha $. Нам дано $ \sin\alpha = \frac{12}{13} $ и $ \alpha $ — угол первой четверти. Сначала найдем $ \cos\alpha $ из основного тригонометрического тождества: $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} $. Так как $ \alpha $ — угол первой четверти, $ \cos\alpha > 0 $, поэтому $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $. Теперь найдем $ \text{tg}\alpha $: $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5} $.

2. Найдем $ \text{tg}\beta $. Нам дано $ \cos\beta = \frac{3}{5} $ и $ \beta $ — угол первой четверти. Сначала найдем $ \sin\beta $: $ \sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $. Так как $ \beta $ — угол первой четверти, $ \sin\beta > 0 $, поэтому $ \sin\beta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $. Теперь найдем $ \text{tg}\beta $: $ \text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} $.

3. Подставим найденные значения $ \text{tg}\alpha $ и $ \text{tg}\beta $ в формулу тангенса разности: $ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{12}{5} - \frac{4}{3}}{1 + \frac{12}{5} \cdot \frac{4}{3}} = \frac{\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15}}{1 + \frac{48}{15}} = \frac{\frac{36 - 20}{15}}{\frac{15 + 48}{15}} = \frac{\frac{16}{15}}{\frac{63}{15}} = \frac{16}{63} $.

Ответ: $ \frac{16}{63} $