Номер 11, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

11. Разместите в порядке возрастания числа:

a) $sin85^\circ$, $sin100^\circ$, $sin140^\circ$, $sin280^\circ$;

б) $cos2$, $cos3$, $cos4$, $cos5$.

а) Чтобы расположить числа $\sin(85°)$, $\sin(100°)$, $\sin(140°)$ и $\sin(280°)$ в порядке возрастания, проанализируем значение синуса для каждого угла, используя единичную окружность. Значение синуса угла — это ордината (координата y) точки на единичной окружности.
1. Определим четверть для каждого угла и знак синуса:
• $85°$ находится в I четверти, поэтому $\sin(85°) > 0$.
• $100°$ находится во II четверти, поэтому $\sin(100°) > 0$.
• $140°$ находится во II четверти, поэтому $\sin(140°) > 0$.
• $280°$ находится в IV четверти, поэтому $\sin(280°) < 0$.
Так как $\sin(280°)$ — единственное отрицательное число в наборе, оно является наименьшим.
2. Теперь сравним положительные значения. Для этого используем формулы приведения, чтобы выразить синусы углов II четверти через синусы углов I четверти:
• $\sin(100°) = \sin(180° - 80°) = \sin(80°)$.
• $\sin(140°) = \sin(180° - 40°) = \sin(40°)$.
Теперь нам нужно сравнить три значения: $\sin(85°)$, $\sin(80°)$ и $\sin(40°)$.
В I четверти (от $0°$ до $90°$) функция синус является возрастающей. Это значит, что для двух углов из этого промежутка большему углу соответствует большее значение синуса.
Поскольку $40° < 80° < 85°$, то справедливо неравенство: $\sin(40°) < \sin(80°) < \sin(85°)$.
Заменяя обратно, получаем: $\sin(140°) < \sin(100°) < \sin(85°)$.
3. Объединив все результаты, получим итоговую последовательность в порядке возрастания:
$\sin(280°) < \sin(140°) < \sin(100°) < \sin(85°)$.
Ответ: $\sin(280°), \sin(140°), \sin(100°), \sin(85°)$.

б) Чтобы расположить числа $\cos(2)$, $\cos(3)$, $\cos(4)$ и $\cos(5)$ в порядке возрастания, необходимо учесть, что углы заданы в радианах. Значение косинуса угла — это абсцисса (координата x) точки на единичной окружности.
1. Определим, в каких четвертях координатной плоскости лежат данные углы. Для этого используем приближенные значения констант: $\pi \approx 3.14159$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.
• Угол 2: так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, он находится во II четверти. Косинус во II четверти отрицателен, значит $\cos(2) < 0$.
• Угол 3: так как $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, он находится во II четверти. Следовательно, $\cos(3) < 0$.
• Угол 4: так как $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, он находится в III четверти. Косинус в III четверти также отрицателен, $\cos(4) < 0$.
• Угол 5: так как $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, он находится в IV четверти. Косинус в IV четверти положителен, $\cos(5) > 0$.
Поскольку $\cos(5)$ — единственное положительное значение, оно является наибольшим в этом наборе.
2. Теперь сравним три отрицательных значения: $\cos(2)$, $\cos(3)$ и $\cos(4)$.
На промежутке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ (II четверть) функция косинус убывает. Так как $2 < 3$, то $\cos(2) > \cos(3)$.
Функция $\cos(x)$ достигает своего минимального значения $-1$ при $x=\pi$. Чем ближе аргумент $x$ к $\pi$, тем ближе значение $\cos(x)$ к $-1$. Сравним, какой из углов 3 и 4 ближе к $\pi$:
• Расстояние от 3 до $\pi$: $|\pi - 3| \approx |3.14159 - 3| = 0.14159$.
• Расстояние от 4 до $\pi$: $|4 - \pi| \approx |4 - 3.14159| = 0.85841$.
Угол 3 находится значительно ближе к $\pi$, чем угол 4. Следовательно, $\cos(3)$ будет ближе к $-1$, чем $\cos(4)$, а значит, $\cos(3) < \cos(4)$.
3. Теперь у нас есть два неравенства: $\cos(2) > \cos(3)$ и $\cos(3) < \cos(4)$. Чтобы получить полный порядок, сравним $\cos(2)$ и $\cos(4)$.
Используем тот факт, что $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$ и $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$.
• $\cos(2) = \cos(\pi - (\pi-2)) = -\cos(\pi-2)$. Здесь $\pi-2 \approx 1.14159$.
• $\cos(4) = \cos(\pi + (4-\pi)) = -\cos(4-\pi)$. Здесь $4-\pi \approx 0.85841$.
Нам нужно сравнить $-\cos(1.14159)$ и $-\cos(0.85841)$. Оба угла, $1.14159$ и $0.85841$, находятся в I четверти, где косинус убывает. Так как $0.85841 < 1.14159$, то $\cos(0.85841) > \cos(1.14159)$.
Умножая обе части неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства: $-\cos(0.85841) < -\cos(1.14159)$.
Это означает, что $\cos(4) < \cos(2)$.
4. Совместив все неравенства для отрицательных чисел, получаем: $\cos(3) < \cos(4) < \cos(2)$.
Добавив наибольшее положительное число, получаем окончательный порядок возрастания:
$\cos(3) < \cos(4) < \cos(2) < \cos(5)$.
Ответ: $\cos(3), \cos(4), \cos(2), \cos(5)$.