Номер 5, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Найдите $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\operatorname{tg}\alpha$, $\operatorname{ctg}\alpha$, если точка $P_\alpha$ единичной окружности имеет координаты:

a) $P_\alpha(0,6; -0,8)$;

б) $P_\alpha\left(-\frac{1}{3}; \frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$.

а) По определению, для точки $P_\alpha(x; y)$ на единичной окружности ее координаты равны косинусу и синусу угла $\alpha$: $x = \cos\alpha$ и $y = \sin\alpha$. Для точки $P_\alpha(0,6; -0,8)$ сначала представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $x=0,6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ и $y=-0,8=-\frac{8}{10}=-\frac{4}{5}$.
Следовательно:
$\cos\alpha = x = \frac{3}{5}$
$\sin\alpha = y = -\frac{4}{5}$
Тангенс и котангенс находим по формулам $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = -\frac{4}{3}$
$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{4}) = -\frac{3}{4}$
Ответ: $\sin\alpha = -\frac{4}{5}$; $\cos\alpha = \frac{3}{5}$; $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{4}{3}$; $\operatorname{ctg}\alpha = -\frac{3}{4}$.

б) Аналогично, для точки $P_\alpha(-\frac{1}{3}; \frac{2\sqrt{2}}{3})$ на единичной окружности ее координаты $x = -\frac{1}{3}$ и $y = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ равны косинусу и синусу угла $\alpha$.
Следовательно:
$\cos\alpha = x = -\frac{1}{3}$
$\sin\alpha = y = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
Находим тангенс и котангенс:
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot (-3) = -2\sqrt{2}$
$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $-\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$; $\cos\alpha = -\frac{1}{3}$; $\operatorname{tg}\alpha = -2\sqrt{2}$; $\operatorname{ctg}\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.