Номер 9, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Решите неравенство

$0.4^{\log_3 \frac{x}{3} \cdot \log_3 (3x)} > 6.25^{\log_3 x^2 + 2}$

Исходное неравенство:

$$0,4^{\log_3 \frac{x}{3} \cdot \log_3(3x)} > 6,25^{\log_3 x^2 + 2}$$

Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы логарифмы были определены, их аргументы должны быть строго положительными. Запишем систему неравенств:

$$\begin{cases} \frac{x}{3} > 0 \\ 3x > 0 \\ x^2 > 0\end{cases}\implies\begin{cases} x > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 0\end{cases}\implies x > 0$$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Преобразование неравенства

Приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что десятичные дроби можно представить в виде обыкновенных:

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2 = (\frac{2}{5})^{-2}$

Теперь перепишем исходное неравенство, используя основание $\frac{2}{5}$:

$$(\frac{2}{5})^{\log_3 \frac{x}{3} \cdot \log_3(3x)} > ((\frac{2}{5})^{-2})^{\log_3 x^2 + 2}$$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$$(\frac{2}{5})^{\log_3 \frac{x}{3} \cdot \log_3(3x)} > (\frac{2}{5})^{-2(\log_3 x^2 + 2)}$$

Так как основание степени $\frac{2}{5}$ меньше 1 (т.е. $0 < \frac{2}{5} < 1$), показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$$\log_3 \frac{x}{3} \cdot \log_3(3x) < -2(\log_3 x^2 + 2)$$

Упрощение и решение логарифмического неравенства

Применим свойства логарифмов для упрощения выражения:

$\log_3 \frac{x}{3} = \log_3 x - \log_3 3 = \log_3 x - 1$

$\log_3 (3x) = \log_3 3 + \log_3 x = 1 + \log_3 x$

$\log_3 x^2 = 2 \log_3 x$ (это преобразование корректно, так как по ОДЗ $x>0$)

Подставим упрощенные выражения в неравенство:

$$(\log_3 x - 1)(\log_3 x + 1) < -2(2 \log_3 x + 2)$$

В левой части используем формулу разности квадратов, а в правой раскроем скобки:

$$(\log_3 x)^2 - 1 < -4 \log_3 x - 4$$

Введем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Тогда неравенство принимает вид:

$$t^2 - 1 < -4t - 4$$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$$t^2 + 4t + 3 < 0$$

Это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 + 4t + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение равно 3. Следовательно, корни $t_1 = -3$ и $t_2 = -1$.

Графиком функции $y = t^2 + 4t + 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше нуля между корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$:

$$-3 < t < -1$$

Возврат к исходной переменной

Выполним обратную замену $t = \log_3 x$:

$$-3 < \log_3 x < -1$$

Так как логарифмическая функция с основанием $3 > 1$ является возрастающей, то при потенцировании знак неравенства сохраняется:

$$3^{-3} < x < 3^{-1}$$

$$\frac{1}{27} < x < \frac{1}{3}$$

Полученный интервал $(\frac{1}{27}, \frac{1}{3})$ полностью входит в область допустимых значений $x > 0$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{27}; \frac{1}{3})$.