Номер 4, страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Постройте график функции:

а) $y = \log_3 x;$

б) $y = \log_{0,5} x.$

а) $y = \log_3 x$

Для построения графика функции $y = \log_3 x$ проанализируем её свойства и найдем несколько ключевых точек.

Свойства функции:

- Область определения: логарифм определен только для положительных чисел, поэтому $x > 0$. График будет расположен в правой полуплоскости (справа от оси Oy).

- Поведение функции: основание логарифма $a = 3$, что больше 1 ($a > 1$). Это означает, что функция является возрастающей на всей области определения.

- Особые точки: график любой логарифмической функции $y = \log_a x$ проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_a 1 = 0$.

- Асимптота: ось Oy (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой для графика. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.

Вычисление точек для построения:

Выберем значения $x$, которые являются степенями основания 3, чтобы легко вычислить $y$.

- При $x = 1/9$, $y = \log_3(1/9) = \log_3(3^{-2}) = -2$. Точка $(1/9, -2)$.

- При $x = 1/3$, $y = \log_3(1/3) = \log_3(3^{-1}) = -1$. Точка $(1/3, -1)$.

- При $x = 1$, $y = \log_3(1) = 0$. Точка $(1, 0)$.

- При $x = 3$, $y = \log_3(3) = 1$. Точка $(3, 1)$.

- При $x = 9$, $y = \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$. Точка $(9, 2)$.

Построение графика:

Отметив на координатной плоскости точки $(1/9, -2)$, $(1/3, -1)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$ и $(9, 2)$ и соединив их плавной линией, получим график функции. Кривая будет начинаться в нижней части IV квадранта (приближаясь к оси Oy), проходить через точку $(1,0)$ и плавно возрастать в I квадранте.

Ответ: График функции $y = \log_3 x$ — это плавная кривая, которая проходит через точки $(1/3, -1)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$. Она возрастает на всей области определения $x > 0$ и имеет вертикальную асимптоту $x = 0$.

б) $y = \log_{0,5} x$

Для построения графика функции $y = \log_{0,5} x$ также проанализируем её свойства и найдем несколько точек.

Свойства функции:

- Область определения: $x > 0$. График расположен справа от оси Oy.

- Поведение функции: основание логарифма $a = 0,5$, что находится в интервале $0 < a < 1$. Это означает, что функция является убывающей на всей области определения.

- Особые точки: график также проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{0,5} 1 = 0$.

- Асимптота: ось Oy (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Вычисление точек для построения:

Выберем значения $x$, которые являются степенями основания 0,5 (или 1/2).

- При $x = 4 = (0,5)^{-2}$, $y = \log_{0,5}(4) = -2$. Точка $(4, -2)$.

- При $x = 2 = (0,5)^{-1}$, $y = \log_{0,5}(2) = -1$. Точка $(2, -1)$.

- При $x = 1 = (0,5)^0$, $y = \log_{0,5}(1) = 0$. Точка $(1, 0)$.

- При $x = 0,5 = (0,5)^1$, $y = \log_{0,5}(0,5) = 1$. Точка $(0,5, 1)$.

- При $x = 0,25 = (0,5)^2$, $y = \log_{0,5}(0,25) = 2$. Точка $(0,25, 2)$.

Построение графика:

Отметив на координатной плоскости точки $(0,25, 2)$, $(0,5, 1)$, $(1, 0)$, $(2, -1)$ и $(4, -2)$ и соединив их плавной линией, получим график функции. Кривая будет начинаться в верхней части I квадранта (приближаясь к оси Oy), проходить через точку $(1,0)$ и убывать в IV квадрант.

Ответ: График функции $y = \log_{0,5} x$ — это плавная кривая, которая проходит через точки $(0,5, 1)$, $(1, 0)$, $(2, -1)$. Она убывает на всей области определения $x > 0$ и имеет вертикальную асимптоту $x = 0$.