Номер 3.273, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.273. Решите систему уравнений $\begin{cases} 2^x + 2^y = 6, \\ 3 \cdot 2^x - 2^y = 10. \end{cases}$

Дана система уравнений:

Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $a = 2^x$ и $b = 2^y$. Так как показательная функция $f(t) = 2^t$ принимает только положительные значения, то должны выполняться условия $a > 0$ и $b > 0$.

После замены исходная система примет вид линейной системы уравнений относительно переменных $a$ и $b$:

Решим полученную систему методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части первого и второго уравнений:

$(a + b) + (3a - b) = 6 + 10$

$4a = 16$

$a = \frac{16}{4}$

$a = 4$

Теперь подставим найденное значение $a=4$ в первое уравнение системы ($a + b = 6$), чтобы найти значение $b$:

$4 + b = 6$

$b = 6 - 4$

$b = 2$

Найденные значения $a=4$ и $b=2$ удовлетворяют условиям $a > 0$ и $b > 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти переменные $x$ и $y$.

Из $a = 2^x$ и $a=4$ получаем уравнение:

$2^x = 4$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2:

$2^x = 2^2$

Отсюда следует, что $x = 2$.

Из $b = 2^y$ и $b=2$ получаем уравнение:

$2^y = 2$

Представим число 2 как $2^1$:

$2^y = 2^1$

Отсюда следует, что $y = 1$.

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2, 1)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения $x=2$ и $y=1$ в исходную систему уравнений:

$6 = 6$ (верно)
$10 = 10$ (верно)

Решение найдено правильно.

Ответ: $(2, 1)$.