Номер 3.266, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.266. Найдите значение выражения:

a) $2\sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ$;

б) $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ$;

в) $\frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}}$.

а) $2\sin22,5^\circ\cos22,5^\circ$

Для решения этого примера воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

В нашем случае $\alpha = 22,5^\circ$.

Подставим значение $\alpha$ в формулу:

$2\sin22,5^\circ\cos22,5^\circ = \sin(2 \cdot 22,5^\circ) = \sin(45^\circ)$.

Значение синуса $45^\circ$ является табличным:

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ$

Это выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Здесь $\alpha = 75^\circ$.

Применим формулу:

$\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = \cos(2 \cdot 75^\circ) = \cos(150^\circ)$.

Чтобы найти значение $\cos(150^\circ)$, можно использовать формулу приведения:

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$.

Значение косинуса $30^\circ$ является табличным:

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $\frac{2\tg\frac{\pi}{8}}{1 - \tg^2\frac{\pi}{8}}$

Данное выражение представляет собой формулу тангенса двойного угла: $\tg(2\alpha) = \frac{2\tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha}$.

В этом примере $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

Подставим $\alpha$ в формулу:

$\frac{2\tg\frac{\pi}{8}}{1 - \tg^2\frac{\pi}{8}} = \tg(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \tg(\frac{2\pi}{8}) = \tg(\frac{\pi}{4})$.

Значение тангенса $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$) является табличным:

$\tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Ответ: $1$.