Номер 3.262, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.262. Вычислите: $(\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}} - 8^{-1\frac{2}{3}} + 7 \cdot (12^0)^{-2} + 32 \cdot 2^{-4} \cdot 16^{-\frac{3}{2}}$.

$(\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}} - 8^{-1\frac{2}{3}} + 7 \cdot (12^0)^{-2} + 32 \cdot 2^{-4} \cdot 16^{-\frac{3}{2}}$

Для решения данного выражения необходимо вычислить значение каждого его компонента по отдельности, а затем выполнить арифметические операции в соответствии с их порядком.

Исходное выражение: $ (\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}} - 8^{-1\frac{2}{3}} + 7 \cdot (12^0)^{-2} + 32 \cdot 2^{-4} \cdot 16^{-\frac{3}{2}} $

Разберем вычисление по шагам:

1. Вычисление первого члена $ (\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}} $

Используем свойство степени с отрицательным показателем $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $.

$ (\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}} = (27)^{\frac{1}{3}} $

Степень с дробным показателем $ a^{\frac{1}{n}} $ эквивалентна корню n-ой степени $ \sqrt[n]{a} $.

$ (27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} $

Так как $ 3^3 = 27 $, то $ \sqrt[3]{27} = 3 $.

2. Вычисление второго члена $ 8^{-1\frac{2}{3}} $

Преобразуем смешанное число в показателе степени в неправильную дробь: $ -1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3} $.

Получаем выражение $ 8^{-\frac{5}{3}} $. Представим основание 8 как степень числа 2: $ 8 = 2^3 $.

$ 8^{-\frac{5}{3}} = (2^3)^{-\frac{5}{3}} $

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $.

$ (2^3)^{-\frac{5}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{5}{3})} = 2^{-5} $

Используем свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.

$ 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} $.

3. Вычисление третьего члена $ 7 \cdot (12^0)^{-2} $

Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: $ 12^0 = 1 $.

$ 7 \cdot (12^0)^{-2} = 7 \cdot (1)^{-2} $

Единица в любой степени равна единице, поэтому $ 1^{-2} = 1 $.

$ 7 \cdot 1 = 7 $.

4. Вычисление четвертого члена $ 32 \cdot 2^{-4} \cdot 16^{-\frac{3}{2}} $

Представим числа 32 и 16 в виде степеней двойки: $ 32 = 2^5 $ и $ 16 = 2^4 $.

$ 32 \cdot 2^{-4} \cdot 16^{-\frac{3}{2}} = 2^5 \cdot 2^{-4} \cdot (2^4)^{-\frac{3}{2}} $

Упростим последний множитель: $ (2^4)^{-\frac{3}{2}} = 2^{4 \cdot (-\frac{3}{2})} = 2^{-6} $.

Теперь перемножим все степени с основанием 2, используя свойство $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ 2^5 \cdot 2^{-4} \cdot 2^{-6} = 2^{5 + (-4) + (-6)} = 2^{5 - 4 - 6} = 2^{-5} $

Вычислим значение: $ 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} $.

5. Итоговый расчет

Теперь подставим все вычисленные значения обратно в исходное выражение:

$ 3 - \frac{1}{32} + 7 + \frac{1}{32} $

Слагаемые $ -\frac{1}{32} $ и $ +\frac{1}{32} $ являются противоположными числами, и их сумма равна нулю. Таким образом, они взаимно уничтожаются.

$ (3 + 7) + (-\frac{1}{32} + \frac{1}{32}) = 10 + 0 = 10 $

Ответ: 10