Номер 3.255, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.255. Между какими двумя последовательными целыми числами на-

ходится на числовой прямой число:

a) $\log_2 29$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} 9$?

Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится логарифм, нужно найти две последовательные целые степени основания логарифма, между которыми находится число под знаком логарифма.

Нам нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \log_2 29 < n+1$.

Поскольку основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция $y=\log_2 x$ является возрастающей. Это означает, что если $x_1 < x_2$, то $\log_2 x_1 < \log_2 x_2$.

Рассмотрим степени числа 2, чтобы найти те, которые "окружают" число 29:

$2^4 = 16$

$2^5 = 32$

Мы видим, что $16 < 29 < 32$, что можно записать как $2^4 < 29 < 2^5$.

Применим логарифм по основанию 2 ко всем частям этого двойного неравенства:

$\log_2(2^4) < \log_2 29 < \log_2(2^5)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$4 < \log_2 29 < 5$

Следовательно, число $\log_2 29$ находится на числовой прямой между последовательными целыми числами 4 и 5.

Ответ: 4 и 5.

Нам нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \log_{\frac{1}{2}} 9 < n+1$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $0 < a < 1$. В этом случае логарифмическая функция $y=\log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей. Это означает, что если $x_1 < x_2$, то $\log_{\frac{1}{2}} x_1 > \log_{\frac{1}{2}} x_2$ (знак неравенства меняется на противоположный).

Рассмотрим степени числа $\frac{1}{2}$, чтобы найти те, которые "окружают" число 9. Удобнее работать с отрицательными степенями:

$(\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$

$(\frac{1}{2})^{-4} = 2^4 = 16$

Мы видим, что $8 < 9 < 16$.

Применим логарифм по основанию $\frac{1}{2}$ ко всем частям этого неравенства. Так как функция убывающая, знаки неравенства изменятся:

$\log_{\frac{1}{2}} 8 > \log_{\frac{1}{2}} 9 > \log_{\frac{1}{2}} 16$

Вычислим значения логарифмов по краям:

$\log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-3}) = -3$

$\log_{\frac{1}{2}} 16 = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-4}) = -4$

Подставив эти значения, получаем неравенство:

$-3 > \log_{\frac{1}{2}} 9 > -4$

Запишем это неравенство в стандартном порядке (от меньшего числа к большему):

$-4 < \log_{\frac{1}{2}} 9 < -3$

Следовательно, число $\log_{\frac{1}{2}} 9$ находится на числовой прямой между последовательными целыми числами -4 и -3.

Ответ: -4 и -3.