Номер 3.261, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.261. Найти все корни уравнения $\sin\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$$ \sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Общее решение уравнения вида $\sin(t) = a$ (где $|a| \le 1$) записывается в виде совокупности двух серий решений:

$t = \arcsin(a) + 2\pi n$

$t = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

В нашем случае в качестве аргумента $t$ выступает выражение $\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}$, а значение $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Найдем главное значение арксинуса: $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Теперь мы можем записать две серии решений для нашего уравнения, подставив в общие формулы наши выражения.

Первая серия решений:

$$ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n $$

Чтобы найти $x$, сначала вычтем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей уравнения:

$$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $$

$$ \frac{x}{3} = 2\pi n $$

Далее, умножим обе части на 3:

$$ x = 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Вторая серия решений:

$$ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $$

Упростим правую часть уравнения:

$$ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $$

Теперь выразим $x$. Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей:

$$ \frac{x}{3} = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $$

$$ \frac{x}{3} = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n $$

$$ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $$

И, наконец, умножим обе части на 3:

$$ x = 3\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) $$

$$ x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Таким образом, все корни исходного уравнения описываются двумя сериями.

Ответ: $x = 6\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.