Номер 3.267, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.267. Найдите область определения функции:

a) $f(x) = \sqrt[4]{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^x};$

б) $f(x) = \frac{1}{\sqrt[6]{5x^2 - x - 25}}.$

а) $f(x) = \sqrt[4]{1 - (\frac{1}{3})^x}$

Область определения функции задается условием, что выражение под корнем четной степени (в данном случае, четвертой степени) должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$1 - (\frac{1}{3})^x \ge 0$

$1 \ge (\frac{1}{3})^x$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$:

$(\frac{1}{3})^0 \ge (\frac{1}{3})^x$

Так как основание степени $a = \frac{1}{3}$ и $0 < a < 1$, то показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$0 \le x$

Следовательно, область определения функции — это все числа $x$, удовлетворяющие условию $x \ge 0$.

Ответ: $D(f) = [0, +\infty)$.

б) $f(x) = \frac{1}{\sqrt[6]{5^{x^2-x} - 25}}$

Поскольку в знаменателе находится корень четной степени (шестой), подкоренное выражение должно быть строго больше нуля (оно не может быть отрицательным из-за корня и не может быть равно нулю, так как находится в знаменателе).

Составим и решим неравенство:

$5^{x^2-x} - 25 > 0$

$5^{x^2-x} > 25$

Представим 25 в виде степени с основанием 5:

$5^{x^2-x} > 5^2$

Так как основание степени $a = 5$ и $a > 1$, то показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$x^2 - x > 2$

$x^2 - x - 2 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 2$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$.