Номер 3.260, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.260. Среди рисунков 37, а–г выберите тот, на котором изображен график некоторой функции $y = f(x)$.

а) б) в) г) Рис. 37

По определению, зависимость переменной $y$ от переменной $x$ называется функцией, если каждому значению $x$ из некоторого множества (области определения) соответствует единственное значение $y$. Графически это означает, что любая вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$, пересекает график функции не более чем в одной точке. Этот метод проверки называется тестом вертикальной прямой.

Проанализируем каждый из предложенных рисунков.

а)

На данном графике проведем вертикальную прямую через точку $x=1$. Мы видим, что эта прямая пересекает график в двух точках: $(1, -2)$ и $(1, 1)$. Обе точки обозначены закрашенными кружками, что означает их принадлежность графику. Таким образом, одному значению аргумента $x=1$ соответствуют два значения функции: $y=-2$ и $y=1$. Это нарушает основное требование к функции.

Ответ: не является графиком функции.

б)

График представляет собой окружность. Любая вертикальная прямая, проходящая через внутреннюю область окружности (например, $x=-2$), пересечет ее в двух точках. Например, при $x=-3$ график проходит через точки с ординатами $y \approx 1.8$ и $y \approx -1.8$. Следовательно, одному значению $x$ соответствует несколько значений $y$.

Ответ: не является графиком функции.

в)

На этом графике можно провести множество вертикальных прямых, которые пересекут его более одного раза. Например, вертикальная прямая $x=1$ пересекает график в трех различных точках. Это означает, что одному значению $x$ соответствует три значения $y$.

Ответ: не является графиком функции.

г)

Применим тест вертикальной прямой к этому графику. Любая вертикальная прямая пересекает график ровно в одной точке. Особое внимание следует уделить точкам с абсциссами $x=-2$ и $x=2$, где график имеет разрывы. При $x=-2$ вертикальная прямая пересекает закрашенную точку $(-2, -2)$ и "выколотую" (пустую) точку $(-2, 2)$. Поскольку выколотая точка не принадлежит графику, значению $x=-2$ соответствует единственное значение $y=-2$. Аналогично, при $x=2$ прямая пересекает закрашенную точку $(2, 2)$ и выколотую точку $(2, -1)$. Таким образом, значению $x=2$ соответствует единственное значение $y=2$. Поскольку для любого значения $x$ из области определения существует только одно значение $y$, этот график является графиком некоторой функции $y=f(x)$.

Ответ: является графиком функции.