Номер 3.253, страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.253*. Решите неравенство $\log_{2}\log_{0,5}\frac{x+1}{x-3}\geq 1$.

Для решения неравенства $ \log_{2}{\log_{0,5}{\frac{x+1}{x-3}}} \ge 1 $ необходимо последовательно выполнить несколько шагов: найти область допустимых значений (ОДЗ), решить само неравенство и, наконец, найти пересечение полученного решения с ОДЗ.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ)

Аргумент любого логарифма должен быть строго положительным. В данном случае у нас два логарифма, что приводит к системе из двух неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x+1}{x-3} > 0 \\ \log_{0,5}{\frac{x+1}{x-3}} > 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство $ \frac{x+1}{x-3} > 0 $ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя — это $ x = -1 $ и $ x = 3 $. Эти точки делят числовую ось на интервалы. Определив знаки на каждом интервале, получаем решение: $ x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty) $.

2. Решим второе неравенство $ \log_{0,5}{\frac{x+1}{x-3}} > 0 $. Представим $ 0 $ в виде логарифма с тем же основанием: $ 0 = \log_{0,5}{1} $. Неравенство принимает вид $ \log_{0,5}{\frac{x+1}{x-3}} > \log_{0,5}{1} $. Так как основание логарифма $ 0,5 \in (0, 1) $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ \frac{x+1}{x-3} < 1 $

Решаем полученное рациональное неравенство:

$ \frac{x+1}{x-3} - 1 < 0 $
$ \frac{x+1 - (x-3)}{x-3} < 0 $
$ \frac{x+1 - x + 3}{x-3} < 0 $
$ \frac{4}{x-3} < 0 $

Так как числитель $ 4 $ положителен, дробь будет отрицательной только если знаменатель отрицателен: $ x - 3 < 0 $, откуда $ x < 3 $.

Для нахождения ОДЗ найдем пересечение решений обоих неравенств: $ ( (-\infty; -1) \cup (3; +\infty) ) \cap (-\infty; 3) $. В результате получаем ОДЗ: $ x \in (-\infty; -1) $.

Решим исходное неравенство

$ \log_{2}{\log_{0,5}{\frac{x+1}{x-3}}} \ge 1 $

Основание внешнего логарифма $ 2 > 1 $, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и при избавлении от логарифма знак неравенства сохраняется:

$ \log_{0,5}{\frac{x+1}{x-3}} \ge 2^1 $
$ \log_{0,5}{\frac{x+1}{x-3}} \ge 2 $

Теперь основание логарифма $ 0,5 < 1 $, функция убывающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ \frac{x+1}{x-3} \le (0,5)^2 $
$ \frac{x+1}{x-3} \le 0,25 $
$ \frac{x+1}{x-3} - \frac{1}{4} \le 0 $
$ \frac{4(x+1) - 1(x-3)}{4(x-3)} \le 0 $
$ \frac{4x+4 - x+3}{4(x-3)} \le 0 $
$ \frac{3x+7}{4(x-3)} \le 0 $

Это неравенство эквивалентно $ \frac{3x+7}{x-3} \le 0 $. Решая его методом интервалов с нулями $ x = -\frac{7}{3} $ (точка включается, так как неравенство нестрогое) и $ x=3 $ (точка исключается, так как это нуль знаменателя), получаем решение: $ x \in [-\frac{7}{3}; 3) $.

Найдем окончательное решение

Теперь необходимо учесть ОДЗ, найденную в первом шаге. Для этого найдем пересечение полученного решения $ x \in [-\frac{7}{3}; 3) $ с областью допустимых значений $ x \in (-\infty; -1) $.

$ [-\frac{7}{3}; 3) \cap (-\infty; -1) $

Пересечением этих двух множеств является интервал $ [-\frac{7}{3}; -1) $.

Ответ: $ x \in [-\frac{7}{3}; -1) $.