Номер 3.252, страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.252. Решите неравенство $2\log_{0.5}(1-x) < \log_{0.5}(3x+1)$.

Для решения логарифмического неравенства $2\log_{0,5}(1-x) < \log_{0,5}(3x+1)$ необходимо сначала определить его область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} 1 - x > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ неравенства: $x \in (-1/3, 1)$.

Далее преобразуем исходное неравенство. Применим свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$ к левой части:
$\log_{0,5}((1-x)^2) < \log_{0,5}(3x+1)$

Основание логарифма $0,5$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$(1-x)^2 > 3x+1$

Теперь решим полученное квадратное неравенство, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$1 - 2x + x^2 > 3x+1$
$x^2 - 2x - 3x + 1 - 1 > 0$
$x^2 - 5x > 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x-5) > 0$
Решением этого неравенства являются значения $x$, находящиеся за пределами корней $x=0$ и $x=5$. Следовательно, $x \in (-\infty, 0) \cup (5, \infty)$.

На заключительном этапе найдем пересечение полученного множества решений с областью допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x \in (-1/3, 1) \\ x \in (-\infty, 0) \cup (5, \infty) \end{cases}$
Общим решением для этой системы является интервал, удовлетворяющий обоим условиям, то есть $(-1/3, 0)$.

Ответ: $x \in (-1/3, 0)$.