Номер 3.256, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.256. Какое из данных равенств неверное:

a) $\sqrt[3]{64} = 4;$

б) $3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3};$

в) $\log_{2} 1 = 0;$

г) $\arccos \frac{\pi}{2} = 1?$

Для того чтобы определить, какое из равенств неверное, проверим каждое из них.

а) Проверим равенство $\sqrt[3]{64} = 4$.
По определению кубического корня, это число, которое при возведении в третью степень дает подкоренное выражение. Выполним проверку, возведя 4 в третью степень: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$. Поскольку результат совпадает с подкоренным выражением, равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

б) Проверим равенство $3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$.
Это равенство следует из определения степени с рациональным (дробным) показателем, которое гласит, что $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае $a=3, m=1, n=3$. Следовательно, $3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt[3]{3}$. Равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

в) Проверим равенство $\log_2 1 = 0$.
По определению логарифма, запись $\log_b a = c$ эквивалентна выражению $b^c = a$. Применительно к нашему случаю, это означает, что $2^0 = 1$. Это утверждение истинно, так как любое ненулевое число в нулевой степени равно единице. Следовательно, равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

г) Проверим равенство $\arccos\frac{\pi}{2} = 1$.
Функция арккосинус, $y = \arccos(x)$, имеет область определения для аргумента $x$, который должен находиться в пределах отрезка $[-1, 1]$. В данном равенстве аргументом функции является $\frac{\pi}{2}$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.5708$. Поскольку $1.5708 > 1$, значение аргумента $\frac{\pi}{2}$ выходит за пределы области определения функции арккосинус. Это означает, что выражение $\arccos\frac{\pi}{2}$ не определено, и, следовательно, данное равенство не может быть верным.
Ответ: равенство неверное.

Таким образом, единственное неверное равенство из представленных — это $\arccos\frac{\pi}{2} = 1$.