Номер 3.258, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.258. Сравните $log_{4\sqrt{2}} 128$ и $log_{0,2} 0,0016$.

Для того чтобы сравнить данные логарифмические выражения, необходимо вычислить значение каждого из них.

1. Вычислим значение первого выражения: $\log_{4\sqrt{2}} 128$.

Для этого представим основание $4\sqrt{2}$ и аргумент $128$ в виде степеней одного и того же числа. Удобно использовать основание 2.

Преобразуем основание логарифма:

$4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 2^{2 + 1/2} = 2^{5/2}$.

Преобразуем аргумент логарифма:

$128 = 2^7$.

Подставим полученные выражения в логарифм:

$\log_{4\sqrt{2}} 128 = \log_{2^{5/2}} 2^7$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$:

$\log_{2^{5/2}} 2^7 = \frac{7}{5/2} \log_2 2 = \frac{7 \cdot 2}{5} \cdot 1 = \frac{14}{5} = 2.8$.

Таким образом, значение первого выражения равно $2.8$.

2. Вычислим значение второго выражения: $\log_{0.2} 0.0016$.

Представим основание $0.2$ и аргумент $0.0016$ в виде степеней одного и того же числа. В данном случае удобно использовать основание 5.

Преобразуем основание логарифма:

$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Преобразуем аргумент логарифма:

$0.0016 = \frac{16}{10000} = \frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$.

Подставим полученные выражения в логарифм:

$\log_{0.2} 0.0016 = \log_{5^{-1}} 5^{-4}$.

Применим то же свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$:

$\log_{5^{-1}} 5^{-4} = \frac{-4}{-1} \log_5 5 = 4 \cdot 1 = 4$.

Таким образом, значение второго выражения равно $4$.

3. Сравним полученные значения.

Мы получили, что $\log_{4\sqrt{2}} 128 = 2.8$ и $\log_{0.2} 0.0016 = 4$.

Так как $2.8 < 4$, то можно сделать вывод, что $\log_{4\sqrt{2}} 128 < \log_{0.2} 0.0016$.

Ответ: $\log_{4\sqrt{2}} 128 < \log_{0.2} 0.0016$.