Номер 3.265, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.265. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций $y = \log_2 x$ и $y = 5 - \log_2(x + 4)$.

3.265.

Чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков двух функций, необходимо приравнять их правые части, так как в точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обоих графиков совпадают.

Даны функции $y = \log_2 x$ и $y = 5 - \log_2(x + 4)$.

Приравниваем правые части уравнений:
$\log_2 x = 5 - \log_2(x + 4)$

Прежде чем решать уравнение, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
1. Для $\log_2 x$: $x > 0$
2. Для $\log_2(x + 4)$: $x + 4 > 0 \implies x > -4$
Общая ОДЗ является пересечением этих условий: $x > 0$.

Теперь решим уравнение. Перенесем все члены с логарифмами в левую часть:
$\log_2 x + \log_2(x + 4) = 5$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:
$\log_2(x \cdot (x + 4)) = 5$

По определению логарифма ($\log_a b = c \iff a^c = b$), перейдем к показательному уравнению:
$x(x + 4) = 2^5$
$x(x + 4) = 32$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:
$x^2 + 4x = 32$
$x^2 + 4x - 32 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-32$. Подбором находим корни:
$x_1 = 4$
$x_2 = -8$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$):
- Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 > 0$.
- Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию $-8 > 0$, поэтому является посторонним.

Следовательно, абсцисса точки пересечения графиков функций равна 4.

Ответ: 4