Номер 3.268, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.268. Найдите сумму целых решений неравенства $\frac{(3+x)^2}{5-x} \le 0$, принадлежащих промежутку $[-4; 7]$.

Для того чтобы решить данную задачу, необходимо сначала найти все решения неравенства $\frac{(3 + x)^2}{5 - x} \le 0$, а затем из этих решений выбрать целые числа, принадлежащие промежутку $[-4; 7]$, и найти их сумму.

1. Решение неравенства

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $5 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.

Далее, решим неравенство. Оно является нестрогим, поэтому рассмотрим два случая: когда выражение равно нулю и когда оно строго меньше нуля.

Случай а) Равенство нулю:
$\frac{(3 + x)^2}{5 - x} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $(3 + x)^2 = 0$
$3 + x = 0$
$x = -3$
Это значение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 5$), поэтому $x = -3$ является решением.

Случай б) Строгое неравенство:
$\frac{(3 + x)^2}{5 - x} < 0$
Выражение в числителе $(3 + x)^2$ является полным квадратом, поэтому оно всегда неотрицательно: $(3 + x)^2 \ge 0$ для любого $x$. Чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть строго положительным (т.е. $x \neq -3$), а знаменатель — строго отрицательным. Следовательно, нам нужно, чтобы выполнялось условие: $5 - x < 0$
$5 < x$
Итак, неравенство $\frac{(3 + x)^2}{5 - x} < 0$ выполняется при $x > 5$.

Объединив решения из обоих случаев, мы получаем общее решение исходного неравенства: $x = -3$ или $x > 5$. В виде объединения множеств это можно записать как $\{-3\} \cup (5; +\infty)$.

2. Нахождение целых решений на промежутке $[-4; 7]$

Теперь нам нужно выбрать из найденных решений те, которые являются целыми числами и принадлежат отрезку $[-4; 7]$.

- Из решения $x = -3$: число $-3$ является целым и принадлежит промежутку $[-4; 7]$, так как $-4 \le -3 \le 7$.

- Из решения $x > 5$: нам нужно найти целые числа, которые одновременно больше 5 и принадлежат промежутку $[-4; 7]$. Это числа $6$ и $7$.

Таким образом, целыми решениями неравенства, принадлежащими заданному промежутку, являются числа: $-3, 6, 7$.

3. Вычисление суммы найденных решений

Осталось найти сумму этих целых чисел: $S = (-3) + 6 + 7 = 3 + 7 = 10$.

Ответ: 10