Номер 3, страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Определите, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция:

а) $y = \log_{1.5} x;$

б) $y = \log_{0.4} x;$

в) $y = \log_{\sqrt{3}} x;$

г) $y = \log_{\frac{3}{7}} x.$

Характер монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$ (является ли она возрастающей или убывающей) определяется значением ее основания $a$.

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается.
• Если $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается.

Проанализируем каждую из данных функций на основе этого правила.

а) $y = \log_{1,5} x$

Основание логарифма $a = 1,5$. Поскольку $a > 1$ (так как $1,5 > 1$), функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

б) $y = \log_{0,4} x$

Основание логарифма $a = 0,4$. Поскольку $0 < a < 1$ (так как $0 < 0,4 < 1$), функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

в) $y = \log_{\sqrt{3}} x$

Основание логарифма $a = \sqrt{3}$. Чтобы сравнить это значение с 1, можно возвести оба числа в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $1^2 = 1$. Так как $3 > 1$, то и $\sqrt{3} > 1$. Следовательно, основание $a > 1$, и функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

г) $y = \log_{\frac{3}{7}} x$

Основание логарифма $a = \frac{3}{7}$. Так как числитель дроби (3) меньше знаменателя (7), значение дроби меньше 1. Таким образом, $0 < \frac{3}{7} < 1$. Поскольку основание $a$ находится в интервале $(0; 1)$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.