Номер 10, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите наименьшее целое число из множества значений функции $y = \log_{2}(x^2 - 2x + 65)$.

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \log_2(x^2 - 2x + 65)$, нужно сначала определить множество значений выражения, стоящего под знаком логарифма. Обозначим это выражение как $g(x) = x^2 - 2x + 65$.

Функция $g(x)$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для функции $g(x) = x^2 - 2x + 65$ коэффициенты равны $a=1$, $b=-2$, $c=65$.

$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Теперь найдем наименьшее значение выражения $g(x)$, подставив в него найденное значение $x_0 = 1$:

$g_{min} = g(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 65 = 1 - 2 + 65 = 64$.

Таким образом, наименьшее значение подлогарифмического выражения равно 64. Множество значений $g(x)$ — это промежуток $[64; +\infty)$.

Исходная функция $y = \log_2(t)$, где $t = g(x)$, является возрастающей, поскольку ее основание $2 > 1$. Это значит, что наименьшему значению аргумента $t$ соответствует наименьшее значение функции $y$.

Найдем наименьшее значение функции $y$, подставив наименьшее значение аргумента $t_{min} = 64$:

$y_{min} = \log_2(64) = \log_2(2^6) = 6$.

Следовательно, множество значений функции $y$ — это промежуток $[6; +\infty)$.

Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее целое число из этого множества. Наименьшим целым числом в промежутке $[6; +\infty)$ является 6.

Ответ: 6