Номер 5, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Вычислите:

а) $log_5 12.5 + log_5 2$;

б) $log_2 6 - log_2 192$;

в) $log_{16} \sqrt[5]{8}$;

г) $log_4 91 - log_4 13 + log_4 \frac{2}{7}$.

а)

Для вычисления суммы логарифмов с одинаковым основанием воспользуемся свойством логарифма произведения: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $.

$ \log_5 12,5 + \log_5 2 = \log_5 (12,5 \cdot 2) = \log_5 25 $

По определению логарифма, $ \log_5 25 $ — это степень, в которую нужно возвести основание 5, чтобы получить число 25. Так как $ 5^2 = 25 $, то $ \log_5 25 = 2 $.

Ответ: 2

б)

Для вычисления разности логарифмов с одинаковым основанием используем свойство логарифма частного: $ \log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c}) $.

$ \log_2 6 - \log_2 192 = \log_2 (\frac{6}{192}) $

Сократим дробь в аргументе логарифма: $ \frac{6}{192} = \frac{1}{32} $.

Получаем выражение $ \log_2 (\frac{1}{32}) $. По определению логарифма, это степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить $ \frac{1}{32} $. Так как $ 32 = 2^5 $, то $ \frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5} $. Следовательно, $ \log_2 (\frac{1}{32}) = -5 $.

Ответ: -5

в)

Для вычисления $ \log_{16} \sqrt[5]{8} $ представим основание логарифма и число под логарифмом в виде степеней одного и того же числа. В данном случае удобно использовать число 2.

Представим основание: $ 16 = 2^4 $.

Представим аргумент: $ \sqrt[5]{8} = 8^{\frac{1}{5}} = (2^3)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{3}{5}} $.

Выражение принимает вид: $ \log_{2^4} (2^{\frac{3}{5}}) $.

Используем свойство логарифма $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{2^4} (2^{\frac{3}{5}}) = \frac{3/5}{4} \log_2 2 = \frac{3}{5 \cdot 4} \cdot 1 = \frac{3}{20} $.

Ответ: $ \frac{3}{20} $

г)

Для вычисления выражения $ \log_4 91 - \log_4 13 + \log_4 \frac{2}{7} $ последовательно применим свойства логарифма частного и произведения, так как основания у всех логарифмов одинаковы.

Сначала объединим разность и сумму логарифмов: $ \log_a x - \log_a y + \log_a z = \log_a(\frac{x \cdot z}{y}) $

$ \log_4 91 - \log_4 13 + \log_4 \frac{2}{7} = \log_4 \left(\frac{91 \cdot \frac{2}{7}}{13}\right) = \log_4 \left(\frac{91 \cdot 2}{7 \cdot 13}\right) $

Упростим выражение в аргументе. Зная, что $ 91 = 7 \cdot 13 $, получаем:

$ \log_4 \left(\frac{7 \cdot 13 \cdot 2}{7 \cdot 13}\right) = \log_4 2 $.

По определению логарифма, $ \log_4 2 $ — это степень, в которую нужно возвести 4, чтобы получить 2. Пусть $ \log_4 2 = x $. Тогда $ 4^x = 2 $. Поскольку $ 4 = 2^2 $, получаем $ (2^2)^x = 2^1 $, или $ 2^{2x} = 2^1 $. Отсюда следует, что $ 2x = 1 $, и $ x = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $