Номер 8, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Решите систему уравнений

$\begin{cases} \log_3 x + 2\log_3 y = 3, \\ 2\log_3 x - \log_3 y = 6. \end{cases}$

Дана система логарифмических уравнений:

$$\begin{cases} \log_3 x + 2\log_3 y = 3, \\ 2\log_3 x - \log_3 y = 6.\end{cases}$$

В первую очередь, определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, следовательно, $x > 0$ и $y > 0$.

Для упрощения решения системы введем новые переменные. Пусть $a = \log_3 x$ и $b = \log_3 y$. Подставив эти переменные в систему, получим систему линейных уравнений:

$$\begin{cases} a + 2b = 3, \\ 2a - b = 6.\end{cases}$$

Решим эту систему. Удобно использовать метод сложения. Для этого умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $b$ стали противоположными по знаку:

$$\begin{cases} a + 2b = 3, \\ 4a - 2b = 12.\end{cases}$$

Теперь сложим левые и правые части уравнений:

$(a + 2b) + (4a - 2b) = 3 + 12$

$5a = 15$

$a = \frac{15}{5} = 3$

Подставим найденное значение $a = 3$ в первое уравнение исходной линейной системы $a + 2b = 3$:

$3 + 2b = 3$

$2b = 3 - 3$

$2b = 0$

$b = 0$

Теперь, когда мы нашли значения $a$ и $b$, выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

Из $a = \log_3 x = 3$ следует:

$x = 3^3 = 27$

Из $b = \log_3 y = 0$ следует:

$y = 3^0 = 1$

Проверим, соответствуют ли найденные решения ОДЗ ($x > 0, y > 0$).

$x = 27 > 0$ и $y = 1 > 0$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Для окончательной уверенности выполним проверку, подставив $x=27$ и $y=1$ в исходную систему уравнений:

$$\begin{cases} \log_3 27 + 2\log_3 1 = 3 + 2 \cdot 0 = 3, \\ 2\log_3 27 - \log_3 1 = 2 \cdot 3 - 0 = 6.\end{cases}$$

$$\begin{cases} 3 = 3, \\ 6 = 6.\end{cases}$$

Оба уравнения обращаются в верные равенства, значит, система решена правильно.

Ответ: $(27; 1)$