Номер 3, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Выразите в радианах угол:

а) $12^\circ$;

б) $225^\circ$;

в) $-72^\circ$;

г) $-810^\circ$.

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула, основанная на соотношении, что $180^\circ$ равны $\pi$ радиан. Чтобы перевести угол из градусов в радианы, необходимо умножить его значение на дробь $\frac{\pi}{180^\circ}$.

Общая формула выглядит так:$\alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$

Применим эту формулу для каждого из заданных углов.

а) 12°

Чтобы выразить 12 градусов в радианах, умножим 12 на $\frac{\pi}{180}$:

$12^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{12\pi}{180}$

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 12 и 180 равен 12.

$\frac{12\pi}{180} = \frac{(12 \div 12)\pi}{180 \div 12} = \frac{1\pi}{15} = \frac{\pi}{15}$

Ответ: $\frac{\pi}{15}$ рад.

б) 225°

Чтобы выразить 225 градусов в радианах, умножим 225 на $\frac{\pi}{180}$:

$225^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{225\pi}{180}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для чисел 225 и 180 равен 45.

$\frac{225\pi}{180} = \frac{(225 \div 45)\pi}{180 \div 45} = \frac{5\pi}{4}$

Ответ: $\frac{5\pi}{4}$ рад.

в) -72°

Чтобы выразить -72 градуса в радианах, умножим -72 на $\frac{\pi}{180}$:

$-72^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{72\pi}{180}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для чисел 72 и 180 равен 36.

$-\frac{72\pi}{180} = -\frac{(72 \div 36)\pi}{180 \div 36} = -\frac{2\pi}{5}$

Ответ: $-\frac{2\pi}{5}$ рад.

г) -810°

Чтобы выразить -810 градусов в радианах, умножим -810 на $\frac{\pi}{180}$:

$-810^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{810\pi}{180}$

Сократим дробь. Сначала можно сократить на 10, убрав нули в числителе и знаменателе:

$-\frac{81\pi}{18}$

Теперь сократим оставшуюся дробь $\frac{81}{18}$. Наибольший общий делитель для 81 и 18 равен 9.

$-\frac{(81 \div 9)\pi}{18 \div 9} = -\frac{9\pi}{2}$

Ответ: $-\frac{9\pi}{2}$ рад.