Номер 10, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Зная значение одной из тригонометрических функций угла и четверть, в которой находится угол, найдите значение трех других тригонометрических функций этого угла:

a) $ \sin\alpha = \frac{5}{13}, \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $

б) $ \cos\alpha = -\frac{1}{3}, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $

в) $ \operatorname{tg}\alpha = 2,5, \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $

г) $ \operatorname{ctg}\alpha = -\frac{1}{5}, \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $

а) Дано: $sin\alpha = \frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Угол $\alpha$ находится во второй четверти. В этой четверти синус положителен (что соответствует условию), а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.

Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, $cos\alpha < 0$.

$cos\alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$.

2. Найдем $tg\alpha$ по формуле $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$.

$tg\alpha = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}$.

3. Найдем $ctg\alpha$ по формуле $ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$.

$ctg\alpha = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $cos\alpha = -\frac{12}{13}$, $tg\alpha = -\frac{5}{12}$, $ctg\alpha = -\frac{12}{5}$.

б) Дано: $cos\alpha = -\frac{1}{3}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Угол $\alpha$ находится в третьей четверти. В этой четверти косинус и синус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

1. Найдем $sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти, $sin\alpha < 0$.

$sin\alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

2. Найдем $tg\alpha$ по формуле $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$.

$tg\alpha = \frac{-2\sqrt{2}/3}{-1/3} = 2\sqrt{2}$.

3. Найдем $ctg\alpha$ по формуле $ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$.

$ctg\alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $sin\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $tg\alpha = 2\sqrt{2}$, $ctg\alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

в) Дано: $tg\alpha = 2,5 = \frac{5}{2}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Угол $\alpha$ находится в третьей четверти. В этой четверти тангенс и котангенс положительны (что соответствует условию), а синус и косинус отрицательны.

1. Найдем $ctg\alpha$ по формуле $ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$.

$ctg\alpha = \frac{1}{2,5} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5} = 0,4$.

2. Найдем $cos\alpha$ из тождества $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$.

$cos^2\alpha = \frac{1}{1 + tg^2\alpha} = \frac{1}{1 + (5/2)^2} = \frac{1}{1 + 25/4} = \frac{1}{29/4} = \frac{4}{29}$.

Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти, $cos\alpha < 0$.

$cos\alpha = -\sqrt{\frac{4}{29}} = -\frac{2}{\sqrt{29}} = -\frac{2\sqrt{29}}{29}$.

3. Найдем $sin\alpha$ из формулы $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$, откуда $sin\alpha = tg\alpha \cdot cos\alpha$.

$sin\alpha = \frac{5}{2} \cdot (-\frac{2}{\sqrt{29}}) = -\frac{5}{\sqrt{29}} = -\frac{5\sqrt{29}}{29}$.

Ответ: $sin\alpha = -\frac{5\sqrt{29}}{29}$, $cos\alpha = -\frac{2\sqrt{29}}{29}$, $ctg\alpha = \frac{2}{5}$.

г) Дано: $ctg\alpha = -\frac{1}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Угол $\alpha$ находится в четвертой четверти. В этой четверти котангенс и тангенс отрицательны (что соответствует условию), синус отрицателен, а косинус положителен.

1. Найдем $tg\alpha$ по формуле $tg\alpha = \frac{1}{ctg\alpha}$.

$tg\alpha = \frac{1}{-1/5} = -5$.

2. Найдем $sin\alpha$ из тождества $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$.

$sin^2\alpha = \frac{1}{1 + ctg^2\alpha} = \frac{1}{1 + (-1/5)^2} = \frac{1}{1 + 1/25} = \frac{1}{26/25} = \frac{25}{26}$.

Так как угол $\alpha$ находится в четвертой четверти, $sin\alpha < 0$.

$sin\alpha = -\sqrt{\frac{25}{26}} = -\frac{5}{\sqrt{26}} = -\frac{5\sqrt{26}}{26}$.

3. Найдем $cos\alpha$ из формулы $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$, откуда $cos\alpha = ctg\alpha \cdot sin\alpha$.

$cos\alpha = (-\frac{1}{5}) \cdot (-\frac{5}{\sqrt{26}}) = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$.

Ответ: $sin\alpha = -\frac{5\sqrt{26}}{26}$, $cos\alpha = \frac{\sqrt{26}}{26}$, $tg\alpha = -5$.