Номер 9, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Определите знак числа:

а) $\sin\frac{5\pi}{7};$

б) $\cos4;$

в) $\operatorname{tg}269^{\circ};$

г) $\operatorname{ctg}\frac{23\pi}{11}.$

а) Чтобы определить знак числа $\sin\frac{5\pi}{7}$, необходимо определить, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол $\frac{5\pi}{7}$.

Границы четвертей в радианах:

• I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$
• II четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$
• III четверть: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$
• IV четверть: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$

Сравним угол $\frac{5\pi}{7}$ с границами четвертей. Очевидно, что $\frac{5\pi}{7} > 0$. Сравним с $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$.

Для сравнения $\frac{5\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{2}$ приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{5}{7} = \frac{10}{14}$ и $\frac{1}{2} = \frac{7}{14}$. Поскольку $\frac{10}{14} > \frac{7}{14}$, то $\frac{5\pi}{7} > \frac{\pi}{2}$.

Для сравнения $\frac{5\pi}{7}$ и $\pi$ заметим, что $\frac{5}{7} < 1$, следовательно, $\frac{5\pi}{7} < \pi$.

Таким образом, мы имеем неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi$. Это означает, что угол $\frac{5\pi}{7}$ находится во второй четверти. Функция синус во второй четверти принимает положительные значения.

Ответ: знак плюс (+).

б) Чтобы определить знак числа $\cos4$, необходимо определить, в какой четверти находится угол, равный 4 радианам. Воспользуемся приближенным значением числа $\pi \approx 3,14159$.

Определим границы четвертей в радианах:

• I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$
• II четверть: от $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ до $\pi \approx 3,14$
• III четверть: от $\pi \approx 3,14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$
• IV четверть: от $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ до $2\pi \approx 6,28$

Число 4 удовлетворяет неравенству $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (так как $3,14 < 4 < 4,71$). Следовательно, угол в 4 радиана находится в третьей четверти. Функция косинус в третьей четверти принимает отрицательные значения.

Ответ: знак минус (−).

в) Чтобы определить знак числа $\tg269^\circ$, необходимо определить, в какой четверти находится угол $269^\circ$.

Границы четвертей в градусах:

• I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$
• II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$
• III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$
• IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$

Угол $269^\circ$ удовлетворяет неравенству $180^\circ < 269^\circ < 270^\circ$. Следовательно, угол $269^\circ$ находится в третьей четверти. Функция тангенс в третьей четверти принимает положительные значения.

Ответ: знак плюс (+).

г) Чтобы определить знак числа $\cot\frac{23\pi}{11}$, сначала упростим угол. Для этого выделим целое число полных оборотов ($2\pi$).

Представим $\frac{23\pi}{11}$ в виде суммы: $\frac{23\pi}{11} = \frac{22\pi + \pi}{11} = \frac{22\pi}{11} + \frac{\pi}{11} = 2\pi + \frac{\pi}{11}$.

Функция котангенс является периодической с периодом $\pi$, а значит и $2\pi$. Поэтому значение котангенса не изменится, если отбросить полный оборот $2\pi$:

$\cot(\frac{23\pi}{11}) = \cot(2\pi + \frac{\pi}{11}) = \cot(\frac{\pi}{11})$.

Теперь определим четверть для угла $\frac{\pi}{11}$. Поскольку $0 < \frac{1}{11} < \frac{1}{2}$, то $0 < \frac{\pi}{11} < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что угол $\frac{\pi}{11}$ находится в первой четверти. Функция котангенс в первой четверти принимает положительные значения.

Ответ: знак плюс (+).