Номер 23, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

23. Найдите значение выражения:

а) $tg\left(arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right);$

б) $sin\left(arccos\frac{1}{2}\right);$

в) $cos\left(2arccos\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

г) $ctg\left(2arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right);$

д) $tg(2arccos(-1));$

е) $cos\left(3arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right);$

ж) $tg\left(2arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \frac{\pi}{6}\right);$

з) $cos\left(3arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right).$

а) Найдем значение выражения $\operatorname{tg}(\arccos\frac{\sqrt{2}}{2})$.
По определению арккосинуса, $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.
Таким образом, выражение принимает вид: $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})$.
Значение тангенса для этого угла равно 1.
$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Ответ: 1

б) Найдем значение выражения $\sin(\arccos\frac{1}{2})$.
Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{2}$. По определению арккосинуса, $\cos\alpha = \frac{1}{2}$ и $\alpha \in [0, \pi]$.
Нам нужно найти $\sin\alpha$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Поскольку $\alpha \in [0, \pi]$, $\sin\alpha \ge 0$. Следовательно, $\sin\alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) Найдем значение выражения $\cos(2\arccos\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Сначала найдем значение $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.
Подставим это значение в исходное выражение: $\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Альтернативный способ: используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
Пусть $\alpha = \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$, тогда $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos(2\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\cos^2(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}) - 1 = 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{3}{4} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Найдем значение выражения $\operatorname{ctg}(2\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}))$.
По определению арксинуса, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $-\frac{\pi}{4}$.
Подставим это значение в выражение: $\operatorname{ctg}(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{2})$.
$\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(-\frac{\pi}{2})}{\sin(-\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: 0

д) Найдем значение выражения $\operatorname{tg}(2\arccos(-1))$.
$\arccos(-1)$ — это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен -1. Этот угол равен $\pi$.
Подставляем в выражение: $\operatorname{tg}(2 \cdot \pi) = \operatorname{tg}(2\pi)$.
$\operatorname{tg}(2\pi) = 0$.
Ответ: 0

е) Найдем значение выражения $\cos(3\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}))$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $-\frac{\pi}{3}$.
Подставляем в выражение: $\cos(3 \cdot (-\frac{\pi}{3})) = \cos(-\pi)$.
Так как функция косинуса четная, $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$.
Ответ: -1

ж) Найдем значение выражения $\operatorname{tg}(2\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{\pi}{6})$.
$\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Этот угол равен $-\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в выражение: $\operatorname{tg}(2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{6}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6})$.
$\operatorname{tg}(-\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6})$.
$\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

з) Найдем значение выражения $\cos(3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos(-\frac{1}{2}))$.
Найдем значения аркфункций:
$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$ (угол из $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого $\frac{\sqrt{3}}{2}$).
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ (угол из $[0, \pi]$, косинус которого $-\frac{1}{2}$).
Подставляем значения в выражение:
$\cos(3 \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{2\pi}{3})$.
Используем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$.
$\cos(\pi + \frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{2\pi}{3})$.
Так как $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, получаем:
$-(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$