Номер 22, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

22. Воспользуйтесь определением арксинуса, арккосинуса, арктангенса или арккотангенса числа и вычислите:

$ \arcsin(-b) = -\arcsin b $

$ \arccos(-b) = \pi - \arccos b $

$ \operatorname{arctg}(-b) = -\operatorname{arctg}b $

$ \operatorname{arcctg}(-b) = \pi - \operatorname{arcctg}b $

а) $ \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}; $

б) $ \arcsin(-1); $

в) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

г) $ \arcsin 0; $

д) $ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}; $

е) $ \arccos 1; $

ж) $ \arccos \left(-\frac{1}{2}\right); $

з) $ \arccos 0; $

и) $ \operatorname{arctg}\sqrt{3}; $

к) $ \operatorname{arctg}1; $

л) $ \operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right); $

м) $ \operatorname{arctg}0; $

н) $ \operatorname{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}; $

о) $ \operatorname{arcctg}(-1); $

п) $ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}); $

р) $ \operatorname{arcctg}0. $

а) По определению, арксинусом числа $a$ (где $|a| \le 1$) называется такое число (угол) $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. В указанном промежутке этому условию соответствует угол $\frac{\pi}{4}$. Следовательно, $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) По определению, ищем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin(\alpha) = -1$. Этому условию удовлетворяет угол $-\frac{\pi}{2}$. Можно также воспользоваться формулой $\arcsin(-b) = -\arcsin(b)$: $\arcsin(-1) = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

в) Используем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-b) = -\arcsin(b)$. Тогда $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Значение $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

г) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin(\alpha) = 0$. Этим углом является $0$.
Ответ: $0$.

д) По определению, арккосинусом числа $a$ (где $|a| \le 1$) называется такое число (угол) $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. В указанном промежутке этому условию соответствует угол $\frac{\pi}{6}$. Следовательно, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

е) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = 1$. Этим углом является $0$.
Ответ: $0$.

ж) Используем формулу $\arccos(-b) = \pi - \arccos(b)$. Тогда $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2})$. Значение $\arccos(\frac{1}{2})$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [0; \pi]$. Таким образом, $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

з) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = 0$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

и) По определению, арктангенсом числа $a$ называется такое число (угол) $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Ищем угол $\alpha$, для которого $\operatorname{tg}(\alpha) = \sqrt{3}$. В указанном промежутке это угол $\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

к) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\operatorname{tg}(\alpha) = 1$. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

л) Используем свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-b) = -\operatorname{arctg}(b)$. Тогда $\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Значение $\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Таким образом, $\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

м) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\operatorname{tg}(\alpha) = 0$. Этим углом является $0$.
Ответ: $0$.

н) По определению, арккотангенсом числа $a$ называется такое число (угол) $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$. Ищем угол $\alpha$, для которого $\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. В указанном промежутке это угол $\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

о) Используем формулу $\operatorname{arcctg}(-b) = \pi - \operatorname{arcctg}(b)$. Тогда $\operatorname{arcctg}(-1) = \pi - \operatorname{arcctg}(1)$. Значение $\operatorname{arcctg}(1)$ равно $\frac{\pi}{4}$, так как $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (0; \pi)$. Таким образом, $\operatorname{arcctg}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

п) Используем формулу $\operatorname{arcctg}(-b) = \pi - \operatorname{arcctg}(b)$. Тогда $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3})$. Значение $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$, так как $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (0; \pi)$. Таким образом, $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

р) Ищем угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\operatorname{ctg}(\alpha) = 0$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.