Номер 35, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

35. Представьте в виде корней одной и той же степени числа $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt[6]{7}$.

Чтобы представить данные числа в виде корней одной и той же степени, необходимо привести их к общему показателю корня. Этот общий показатель является наименьшим общим кратным (НОК) исходных показателей корней.

Исходные числа: $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt[6]{7}$.

Показатели их корней соответственно равны 3, 2 (для квадратного корня) и 6. Найдем НОК этих чисел:

НОК(3, 2, 6) = 6.

Таким образом, все три корня нужно привести к 6-й степени. Для этого воспользуемся свойством корня: $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$, где $k$ — это дополнительный множитель, равный отношению нового показателя к старому.

Для числа $\sqrt[3]{5}$

Старый показатель корня $n=3$. Новый показатель — 6. Дополнительный множитель $k = 6 / 3 = 2$.
Возводим подкоренное выражение в степень $k=2$ и умножаем показатель корня на $k=2$:
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[6]{25}$.

Для числа $\sqrt{2}$

Старый показатель корня $n=2$. Новый показатель — 6. Дополнительный множитель $k = 6 / 2 = 3$.
Возводим подкоренное выражение в степень $k=3$ и умножаем показатель корня на $k=3$:
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}$.

Для числа $\sqrt[6]{7}$

Показатель этого корня уже равен 6, поэтому это число не требует преобразований.

В результате мы представили все числа в виде корней 6-й степени.

Ответ: $\sqrt[6]{25}$, $\sqrt[6]{8}$, $\sqrt[6]{7}$.