Номер 60, страница 173 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

60. Определите знак числа:

a) $log_{0,5} 3$;

б) $log_{0,5} \frac{1}{3}$;

в) $lg17$;

г) $lg0,7$.

а) Для определения знака числа $\log_{0,5} 3$ необходимо проанализировать основание и аргумент логарифма. Основание логарифма $a = 0,5$. Так как $0 < 0,5 < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0,5} x$ является убывающей. Аргумент логарифма $b = 3$. Так как $3 > 1$. Для убывающей логарифмической функции, если аргумент больше 1, значение логарифма будет меньше нуля. Это можно увидеть, сравнив значение с $\log_{0,5} 1 = 0$. Поскольку функция убывает и $3 > 1$, то $\log_{0,5} 3 < \log_{0,5} 1$, что означает $\log_{0,5} 3 < 0$. Следовательно, число отрицательное.

Ответ: отрицательный.

б) Для определения знака числа $\log_{0,5} \frac{1}{3}$ проанализируем его компоненты. Основание логарифма $a = 0,5$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_{0,5} x$ является убывающей. Аргумент логарифма $b = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$. Для убывающей логарифмической функции, если аргумент находится в интервале от 0 до 1, значение логарифма будет больше нуля. Сравним со значением $\log_{0,5} 1 = 0$. Поскольку функция убывает и $0 < \frac{1}{3} < 1$, то $\log_{0,5} \frac{1}{3} > \log_{0,5} 1$, что означает $\log_{0,5} \frac{1}{3} > 0$. Следовательно, число положительное.

Ответ: положительный.

в) Выражение $\lg 17$ представляет собой десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\log_{10} 17$. Основание логарифма $a = 10$. Так как $10 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{10} x$ является возрастающей. Аргумент логарифма $b = 17$. Так как $17 > 1$. Для возрастающей логарифмической функции, если аргумент больше 1, значение логарифма будет больше нуля. Сравним со значением $\lg 1 = \log_{10} 1 = 0$. Поскольку функция возрастает и $17 > 1$, то $\lg 17 > \lg 1$, что означает $\lg 17 > 0$. Следовательно, число положительное.

Ответ: положительный.

г) Выражение $\lg 0,7$ представляет собой десятичный логарифм: $\log_{10} 0,7$. Основание логарифма $a = 10$. Так как $10 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{10} x$ является возрастающей. Аргумент логарифма $b = 0,7$. Так как $0 < 0,7 < 1$. Для возрастающей логарифмической функции, если аргумент находится в интервале от 0 до 1, значение логарифма будет меньше нуля. Сравним со значением $\lg 1 = \log_{10} 1 = 0$. Поскольку функция возрастает и $0 < 0,7 < 1$, то $\lg 0,7 < \lg 1$, что означает $\lg 0,7 < 0$. Следовательно, число отрицательное.

Ответ: отрицательный.