Номер 62, страница 173 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

62. Найдите значение выражения:

а) $\log_5 \lg 100\,000;$

б) $\log_9 \log_2 8;$

в) $\log_{\frac{2}{3}} \log_{49} 343;$

г) $\log_2 \log_7 \sqrt[8]{7};$

д) $\log_{\frac{1}{3}} \log_5 125;$

е) $\log_6 \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64}.$

а) $ \log_5 \lg 100 000 $

Сначала вычислим внутренний логарифм $ \lg 100 000 $. Обозначение $ \lg $ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.

Представим 100 000 как степень числа 10: $ 100 000 = 10^5 $.

Тогда $ \lg 100 000 = \log_{10} 10^5 = 5 $.

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$ \log_5 5 $

По определению логарифма, $ \log_a a = 1 $.

Следовательно, $ \log_5 5 = 1 $.

Ответ: 1

б) $ \log_9 \log_2 8 $

Вычислим значение внутреннего логарифма $ \log_2 8 $.

Нужно найти степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 8. Так как $ 2^3 = 8 $, то $ \log_2 8 = 3 $.

Подставим это значение в выражение:

$ \log_9 3 $

Теперь нужно найти степень, в которую нужно возвести 9, чтобы получить 3. Пусть это будет $x$. Тогда $ 9^x = 3 $.

Так как $ 9 = 3^2 $, уравнение можно переписать в виде $ (3^2)^x = 3^1 $, что равносильно $ 3^{2x} = 3^1 $.

Приравнивая показатели степени, получаем $ 2x = 1 $, откуда $ x = \frac{1}{2} $.

Следовательно, $ \log_9 3 = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) $ \log_{\frac{2}{3}} \log_{49} 343 $

Сначала вычислим внутренний логарифм $ \log_{49} 343 $.

Представим 49 и 343 как степени числа 7: $ 49 = 7^2 $ и $ 343 = 7^3 $.

Используя свойство логарифма $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $, получаем:

$ \log_{49} 343 = \log_{7^2} 7^3 = \frac{3}{2} \log_7 7 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} $.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$ \log_{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} $

Нужно найти степень, в которую нужно возвести $ \frac{2}{3} $, чтобы получить $ \frac{3}{2} $. Заметим, что $ \frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1} $.

Следовательно, $ \log_{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} = \log_{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3})^{-1} = -1 $.

Ответ: -1

г) $ \log_2 \log_7 \sqrt[8]{7} $

Вычислим внутренний логарифм $ \log_7 \sqrt[8]{7} $.

Представим корень в виде степени: $ \sqrt[8]{7} = 7^{\frac{1}{8}} $.

Тогда $ \log_7 \sqrt[8]{7} = \log_7 7^{\frac{1}{8}} $.

Используя свойство логарифма $ \log_a a^b = b $, получаем $ \log_7 7^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{8} $.

Подставим это значение в исходное выражение:

$ \log_2 \frac{1}{8} $

Нужно найти степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить $ \frac{1}{8} $. Так как $ 8 = 2^3 $, то $ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} $.

Следовательно, $ \log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-3} = -3 $.

Ответ: -3

д) $ \log_{\frac{1}{3}} \log_5 125 $

Вычислим внутренний логарифм $ \log_5 125 $.

Нужно найти степень, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 125. Так как $ 5^3 = 125 $, то $ \log_5 125 = 3 $.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$ \log_{\frac{1}{3}} 3 $

Нужно найти степень, в которую нужно возвести $ \frac{1}{3} $, чтобы получить 3. Так как $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $, то $ (\frac{1}{3})^{-1} = (3^{-1})^{-1} = 3^1 = 3 $.

Следовательно, $ \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1 $.

Ответ: -1

е) $ \log_6 \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} $

Вычислим внутренний логарифм $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} $.

Нужно найти степень, в которую нужно возвести $ \frac{1}{2} $, чтобы получить $ \frac{1}{64} $. Пусть это будет $x$. Тогда $ (\frac{1}{2})^x = \frac{1}{64} $.

Так как $ 64 = 2^6 $, то $ \frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = (\frac{1}{2})^6 $.

Уравнение принимает вид $ (\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^6 $, откуда $ x=6 $.

Таким образом, $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} = 6 $.

Подставим это значение в исходное выражение:

$ \log_6 6 $

По определению логарифма, $ \log_a a = 1 $.

Следовательно, $ \log_6 6 = 1 $.

Ответ: 1