Номер 69, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

69. Выберите набор чисел, расположенных в порядке возрастания:

а) $log_2 0.5$; $log_2 0.25$; $log_2 0.125$; $log_2 0.0625$;

б) $log_{0.25} 2$; $0.3$; $\sin 30^\circ$; $\sqrt{1.44}$;

в) $\cos 2$; $\cos 3$; $\cos 4$; $\cos 6$;

г) $\sqrt[4]{2}$; $\sqrt[20]{31}$; $\sqrt[5]{3}$; $\sqrt[10]{10}$;

д) $-\frac{17}{27}$; $-\frac{17}{23}$; $-\frac{17}{21}$; $-\frac{17}{29}$.

а) $log_2{0,5}; log_2{0,25}; log_2{0,125}; log_2{0,0625}$
Функция логарифма с основанием $a > 1$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. В данном случае основание логарифма равно 2, что больше 1. Сравним аргументы логарифмов: $0,5 > 0,25 > 0,125 > 0,0625$. Поскольку аргументы расположены в порядке убывания, значения логарифмов также будут расположены в порядке убывания: $log_2{0,5} > log_2{0,25} > log_2{0,125} > log_2{0,0625}$. Для проверки можно вычислить точные значения: $log_2{0,5} = log_2(1/2) = log_2(2^{-1}) = -1$ $log_2{0,25} = log_2(1/4) = log_2(2^{-2}) = -2$ $log_2{0,125} = log_2(1/8) = log_2(2^{-3}) = -3$ $log_2{0,0625} = log_2(1/16) = log_2(2^{-4}) = -4$ Последовательность $-1; -2; -3; -4$ является убывающей, а не возрастающей.
Ответ: неверно.

б) $log_{0,25}2; 0,3; \sin{30^\circ}; \sqrt{1,44}$
Чтобы сравнить числа, приведем их к одному виду (десятичным дробям): $log_{0,25}2 = log_{1/4}2 = log_{2^{-2}}{2^1} = \frac{1}{-2}log_2{2} = -0,5$ $0,3$ $\sin{30^\circ} = 0,5$ $\sqrt{1,44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1,2$ Получаем последовательность: $-0,5; 0,3; 0,5; 1,2$. Сравним эти числа: $-0,5 < 0,3 < 0,5 < 1,2$. Данный набор чисел расположен в порядке возрастания.
Ответ: верно.

в) $\cos{2}; \cos{3}; \cos{4}; \cos{6}$
Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Для сравнения воспользуемся свойствами функции косинуса и единичной окружностью (примем $\pi \approx 3,14$). Угол 2 радиана и угол 3 радиана находятся во второй четверти ($\pi/2 \approx 1,57 < 2 < 3 < \pi \approx 3,14$). На интервале $[0, \pi]$ функция $y=\cos{x}$ убывает. Так как $2 < 3$, то $\cos{2} > \cos{3}$. Поскольку уже первая пара чисел нарушает порядок возрастания, данный набор не подходит.
Ответ: неверно.

г) $\sqrt[4]{2}; \sqrt[20]{31}; \sqrt[5]{3}; \sqrt[10]{10}$
Для сравнения корней разных степеней приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 4, 20, 5, 10 равно 20. $\sqrt[4]{2} = 2^{1/4} = 2^{5/20} = \sqrt[20]{2^5} = \sqrt[20]{32}$ $\sqrt[20]{31}$ $\sqrt[5]{3} = 3^{1/5} = 3^{4/20} = \sqrt[20]{3^4} = \sqrt[20]{81}$ $\sqrt[10]{10} = 10^{1/10} = 10^{2/20} = \sqrt[20]{10^2} = \sqrt[20]{100}$ Теперь сравним подкоренные выражения, так как функция $y=\sqrt[20]{x}$ является возрастающей. Получаем последовательность подкоренных выражений: 32, 31, 81, 100. Так как $32 > 31$, эта последовательность не является возрастающей, а значит и исходная последовательность корней тоже.
Ответ: неверно.

д) $-\frac{17}{27}; -\frac{17}{23}; -\frac{17}{21}; -\frac{17}{29}$
Сравним сначала модули этих чисел (положительные дроби): $\frac{17}{27}, \frac{17}{23}, \frac{17}{21}, \frac{17}{29}$. Из двух дробей с одинаковым положительным числителем больше та, у которой знаменатель меньше. Расположим знаменатели в порядке возрастания: $21 < 23 < 27 < 29$. Соответствующие им дроби в порядке убывания: $\frac{17}{21} > \frac{17}{23} > \frac{17}{27} > \frac{17}{29}$. При умножении на -1 знаки неравенств меняются на противоположные, значит, для отрицательных дробей порядок будет таким (возрастающим): $-\frac{17}{21} < -\frac{17}{23} < -\frac{17}{27} < -\frac{17}{29}$. В задании предложена последовательность $-\frac{17}{27}; -\frac{17}{23}; ...$. Сравним первые два числа. Так как $\frac{17}{27} < \frac{17}{23}$ (потому что $27 > 23$), то $-\frac{17}{27} > -\frac{17}{23}$. Следовательно, предложенная последовательность не является возрастающей.
Ответ: неверно.