Номер 64, страница 173 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

64. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $log_{0,5}^2 \sqrt[3]{2};$

б) $lg^3 \frac{1}{\sqrt[5]{0,1}};$

в) $log_{\sqrt{3}}^2 27;$

г) $log_8^5 (2\sqrt{2}).$

а) $log_{0,5}^2 \sqrt[3]{2}$
Данное выражение можно записать как $(log_{0,5} \sqrt[3]{2})^2$. Сначала вычислим значение логарифма $log_{0,5} \sqrt[3]{2}$.
Для этого представим основание и аргумент логарифма в виде степеней с одинаковым основанием 2.
Основание: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Аргумент: $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$.
Теперь подставим эти значения в логарифм:
$log_{0,5} \sqrt[3]{2} = log_{2^{-1}} (2^{1/3})$.
Используем свойство логарифма $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} log_a b$ (в данном случае $a=2, b=2$):
$log_{2^{-1}} (2^{1/3}) = \frac{1/3}{-1} log_2 2 = -\frac{1}{3} \cdot 1 = -\frac{1}{3}$.
Теперь возведем полученное значение в квадрат:
$(-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
Число $\frac{1}{9}$ является рациональным, так как оно представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа.
Ответ: рациональное число.

б) $lg^3 \frac{1}{\sqrt[5]{0,1}}$
Данное выражение можно записать как $(lg \frac{1}{\sqrt[5]{0,1}})^3$. Напомним, что $lg$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.
Преобразуем аргумент логарифма:
$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.
$\sqrt[5]{0,1} = (10^{-1})^{1/5} = 10^{-1/5}$.
$\frac{1}{\sqrt[5]{0,1}} = \frac{1}{10^{-1/5}} = 10^{1/5}$.
Теперь вычислим значение логарифма:
$lg(10^{1/5}) = log_{10}(10^{1/5})$.
По основному свойству логарифма $log_a a^x = x$, получаем:
$log_{10}(10^{1/5}) = \frac{1}{5}$.
Теперь возведем полученное значение в куб:
$(\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125}$.
Число $\frac{1}{125}$ является рациональным, так как оно представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа.
Ответ: рациональное число.

в) $log_{\sqrt{3}}^2 27$
Данное выражение можно записать как $(log_{\sqrt{3}} 27)^2$. Сначала вычислим значение логарифма $log_{\sqrt{3}} 27$.
Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней с одинаковым основанием 3.
Основание: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.
Аргумент: $27 = 3^3$.
Теперь подставим эти значения в логарифм:
$log_{\sqrt{3}} 27 = log_{3^{1/2}} (3^3)$.
Используем свойство логарифма $log_{a^k} a^m = \frac{m}{k}$:
$log_{3^{1/2}} (3^3) = \frac{3}{1/2} = 3 \cdot 2 = 6$.
Теперь возведем полученное значение в квадрат:
$6^2 = 36$.
Число 36 является целым, а любое целое число является рациональным (например, $36 = \frac{36}{1}$).
Ответ: рациональное число.

г) $log_8^5 (2\sqrt{2})$
Данное выражение можно записать как $(log_8 (2\sqrt{2}))^5$. Сначала вычислим значение логарифма $log_8 (2\sqrt{2})$.
Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней с одинаковым основанием 2.
Основание: $8 = 2^3$.
Аргумент: $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2}$.
Теперь подставим эти значения в логарифм:
$log_8 (2\sqrt{2}) = log_{2^3} (2^{3/2})$.
Используем свойство логарифма $log_{a^k} a^m = \frac{m}{k}$:
$log_{2^3} (2^{3/2}) = \frac{3/2}{3} = \frac{3}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2}$.
Теперь возведем полученное значение в пятую степень:
$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^{5}}{2^{5}} = \frac{1}{32}$.
Число $\frac{1}{32}$ является рациональным, так как оно представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа.
Ответ: рациональное число.