Номер 63, страница 173 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

63. Вычислите:

а) $\log_2 \sin \frac{3\pi}{4};$

б) $\log_3 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6};$

в) $\log_{0.5} \cos \frac{7\pi}{4};$

г) $\log_{\frac{1}{3}} \operatorname{tg} \left(-\frac{2\pi}{3}\right);$

д) $\lg \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4};$

е) $\log_{\sqrt{3}} \operatorname{tg} \frac{19\pi}{6}.$

а) Для вычисления $\log_2 \sin\frac{3\pi}{4}$ сначала найдем значение тригонометрической функции.

Значение синуса для угла $\frac{3\pi}{4}$: $\sin\frac{3\pi}{4} = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим это значение в логарифм: $\log_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Чтобы вычислить логарифм, представим его аргумент $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в виде степени с основанием 2:$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{1/2}}{2^1} = 2^{1/2 - 1} = 2^{-1/2}$.

Следовательно, $\log_2 \sin\frac{3\pi}{4} = \log_2(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) Для вычисления $\log_3 \operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}$ сначала найдем значение котангенса.

Значение котангенса для угла $\frac{\pi}{6}$: $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.

Подставляем значение в логарифм: $\log_3 \sqrt{3}$.

Представим аргумент $\sqrt{3}$ в виде степени с основанием 3: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.

Следовательно, $\log_3 \operatorname{ctg}\frac{\pi}{6} = \log_3(3^{1/2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Для вычисления $\log_{0,5} \cos\frac{7\pi}{4}$ найдем значение косинуса.

Значение косинуса для угла $\frac{7\pi}{4}$: $\cos\frac{7\pi}{4} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем значение в логарифм: $\log_{0,5} \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Представим основание $0,5$ и аргумент $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в виде степеней числа 2. Основание: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Аргумент: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{1/2}}{2^1} = 2^{-1/2}$.

Тогда логарифм принимает вид: $\log_{2^{-1}}(2^{-1/2})$.

Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, получаем:$\log_{2^{-1}}(2^{-1/2}) = \frac{-1/2}{-1} \log_2 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Для вычисления $\log_{\frac{1}{3}} \operatorname{tg}(-\frac{2\pi}{3})$ найдем значение тангенса.

Тангенс - нечетная функция, поэтому $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$.$\operatorname{tg}(-\frac{2\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(\frac{2\pi}{3})$.

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти. $\operatorname{tg}(\frac{2\pi}{3}) = \operatorname{tg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Следовательно, $\operatorname{tg}(-\frac{2\pi}{3}) = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}$.

Подставляем значение в логарифм: $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3}$.

Представим основание $\frac{1}{3}$ и аргумент $\sqrt{3}$ в виде степеней числа 3. Основание: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Аргумент: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.

Тогда логарифм равен $\log_{3^{-1}}(3^{1/2}) = \frac{1/2}{-1} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

д) Выражение $\lg \operatorname{ctg}\frac{5\pi}{4}$ представляет собой десятичный логарифм ($\log_{10}$).

Найдем значение котангенса. Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в третьей четверти.$\operatorname{ctg}\frac{5\pi}{4} = \operatorname{ctg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Подставляем значение в логарифм: $\lg 1$.

Логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю. $\lg 1 = 0$.

Ответ: $0$.

е) Для вычисления $\log_{\sqrt{3}} \operatorname{tg}\frac{19\pi}{6}$ найдем значение тангенса.

Упростим угол, используя периодичность тангенса (период равен $\pi$).$\frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6}$.

$\operatorname{tg}\frac{19\pi}{6} = \operatorname{tg}(3\pi + \frac{\pi}{6}) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставляем значение в логарифм: $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Представим аргумент $\frac{1}{\sqrt{3}}$ как степень основания $\sqrt{3}$: $\frac{1}{\sqrt{3}} = (\sqrt{3})^{-1}$.

Тогда по определению логарифма $\log_{\sqrt{3}} ((\sqrt{3})^{-1}) = -1$.

Ответ: $-1$.