Номер 68, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

68. Докажите, что значение выражения является целым числом:

a) $\frac{\log_5 81}{\log_{0.2} 27 \cdot \log_2 \sqrt[3]{2}}$;

б) $\frac{\log_4 5 \cdot \log_{\sqrt{3}} 27}{\log_{0.25} 125}$.

Чтобы доказать, что значение выражения является целым числом, упростим его, используя свойства логарифмов, в частности $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $ и $ \log_a a = 1 $.

Исходное выражение:

$ \frac{\log_5 81}{\log_{0,2} 27 \cdot \log_2 \sqrt[3]{2}} $

1. Преобразуем числитель. Учитывая, что $ 81 = 3^4 $, получаем:

$ \log_5 81 = \log_5 3^4 = 4\log_5 3 $

2. Преобразуем знаменатель. Он состоит из двух множителей.

Первый множитель: $ \log_{0,2} 27 $. Представим основание $ 0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1} $ и аргумент $ 27 = 3^3 $:

$ \log_{0,2} 27 = \log_{5^{-1}} 3^3 = \frac{3}{-1}\log_5 3 = -3\log_5 3 $

Второй множитель: $ \log_2 \sqrt[3]{2} $. Представим аргумент $ \sqrt[3]{2} = 2^{1/3} $:

$ \log_2 \sqrt[3]{2} = \log_2 2^{1/3} = \frac{1}{3}\log_2 2 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} $

Теперь перемножим полученные выражения для множителей в знаменателе:

$ (-3\log_5 3) \cdot \frac{1}{3} = - \log_5 3 $

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{4\log_5 3}{-\log_5 3} $

Сокращаем дробь на $ \log_5 3 $:

$ \frac{4}{-1} = -4 $

Значение выражения равно -4, что является целым числом.

Ответ: -4.

Упростим второе выражение, чтобы доказать, что его значение также является целым числом.

Исходное выражение:

$ \frac{\log_4 5 \cdot \log_{\sqrt{3}} 27}{\log_{0,25} 125} $

1. Упростим множитель $ \log_{\sqrt{3}} 27 $ в числителе. Представим основание $ \sqrt{3} = 3^{1/2} $ и аргумент $ 27 = 3^3 $:

$ \log_{\sqrt{3}} 27 = \log_{3^{1/2}} 3^3 = \frac{3}{1/2} \log_3 3 = 6 \cdot 1 = 6 $

2. Упростим знаменатель $ \log_{0,25} 125 $. Представим основание $ 0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1} $ и аргумент $ 125 = 5^3 $:

$ \log_{0,25} 125 = \log_{4^{-1}} 5^3 = \frac{3}{-1} \log_4 5 = -3\log_4 5 $

3. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$ \frac{\log_4 5 \cdot 6}{-3\log_4 5} $

Сокращаем дробь на $ \log_4 5 $:

$ \frac{6}{-3} = -2 $

Значение выражения равно -2, что является целым числом.

Ответ: -2.