Номер 67, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

$\log_6 34 - \log_6 \frac{1}{2} + \log_{\sqrt{6}} 3 - 2\log_6 \sqrt{17}$

Для вычисления значения выражения $ \log_6 34 - \log_6 \frac{1}{2} + \log_{\sqrt{6}} 3 - 2\log_6 \sqrt{17} $ необходимо привести все логарифмы к одному основанию и затем использовать их свойства.

1. Приведем все логарифмы к основанию 6. Рассмотрим член $ \log_{\sqrt{6}} 3 $. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $: $ \log_{\sqrt{6}} 3 = \frac{\log_6 3}{\log_6 \sqrt{6}} $. Поскольку $ \sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}} $, то знаменатель равен $ \log_6 \sqrt{6} = \log_6 6^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} $. Таким образом, $ \log_{\sqrt{6}} 3 = \frac{\log_6 3}{\frac{1}{2}} = 2\log_6 3 $.

Теперь рассмотрим член $ 2\log_6 \sqrt{17} $. Воспользуемся свойством степени логарифма $ n \log_b a = \log_b a^n $: $ 2\log_6 \sqrt{17} = \log_6 ((\sqrt{17})^2) = \log_6 17 $.

2. Подставим преобразованные выражения в исходное: $ \log_6 34 - \log_6 \frac{1}{2} + 2\log_6 3 - \log_6 17 $. Используя еще раз свойство степени для $ 2\log_6 3 = \log_6 3^2 = \log_6 9 $, получим: $ \log_6 34 - \log_6 \frac{1}{2} + \log_6 9 - \log_6 17 $.

3. Объединим все логарифмы в один, используя свойства суммы $ \log_b x + \log_b y = \log_b(xy) $ и разности $ \log_b x - \log_b y = \log_b(\frac{x}{y}) $: $ \log_6 \left( \frac{34 \cdot 9}{\frac{1}{2} \cdot 17} \right) = \log_6 \left( \frac{34 \cdot 9 \cdot 2}{17} \right) $.

4. Упростим выражение под знаком логарифма. Заметив, что $ 34 = 2 \cdot 17 $, сократим дробь: $ \frac{2 \cdot 17 \cdot 9 \cdot 2}{17} = 2 \cdot 9 \cdot 2 = 36 $.

5. Вычислим окончательное значение. В результате получаем $ \log_6 36 $. Так как $ 36 = 6^2 $, то: $ \log_6 36 = \log_6 6^2 = 2 $.

Ответ: 2