Номер 56, страница 172 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

56. Найдите логарифм числа 625 с основанием:

а) 5;

б) 25;

в) 625;

г) $\sqrt{5}$;

д) $\frac{1}{5}$;

е) $\frac{1}{125}$;

ж) $\sqrt[3]{25}$;

з) 0,04;

и) $5\sqrt{5}$;

к) $25\sqrt{5}$.

Чтобы найти логарифм числа 625 по некоторому основанию, необходимо найти степень, в которую нужно возвести это основание, чтобы получить 625. Вспомним, что $625 = 5^4$. Это равенство будет использоваться во всех пунктах.

а) Найдем логарифм числа 625 с основанием 5. Обозначим искомый логарифм через $x$: $x = \log_5 625$. По определению логарифма, это равносильно уравнению: $5^x = 625$. Так как $625 = 5^4$, получаем: $5^x = 5^4$. Следовательно, $x=4$.
Ответ: 4

б) Найдем логарифм числа 625 с основанием 25. $x = \log_{25} 625 \implies 25^x = 625$. Представим основание 25 и число 625 в виде степеней числа 5: $25 = 5^2$, $625 = 5^4$. Подставим эти значения в уравнение: $(5^2)^x = 5^4$. $5^{2x} = 5^4$. Приравнивая показатели степени, получаем: $2x = 4 \implies x=2$.
Ответ: 2

в) Найдем логарифм числа 625 с основанием 625. $x = \log_{625} 625$. По свойству логарифма $\log_a a = 1$, так как любое число (кроме 0) в степени 1 равно самому себе ($625^1 = 625$). Следовательно, $x=1$.
Ответ: 1

г) Найдем логарифм числа 625 с основанием $\sqrt{5}$. $x = \log_{\sqrt{5}} 625 \implies (\sqrt{5})^x = 625$. Представим основание и число как степени 5: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$, $625 = 5^4$. $(5^{1/2})^x = 5^4$. $5^{x/2} = 5^4$. $x/2 = 4 \implies x=8$.
Ответ: 8

д) Найдем логарифм числа 625 с основанием $\frac{1}{5}$. $x = \log_{1/5} 625 \implies (\frac{1}{5})^x = 625$. Представим основание и число как степени 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, $625 = 5^4$. $(5^{-1})^x = 5^4$. $5^{-x} = 5^4$. $-x = 4 \implies x = -4$.
Ответ: -4

е) Найдем логарифм числа 625 с основанием $\frac{1}{125}$. $x = \log_{1/125} 625 \implies (\frac{1}{125})^x = 625$. Представим основание и число как степени 5: $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$, $625 = 5^4$. $(5^{-3})^x = 5^4$. $5^{-3x} = 5^4$. $-3x = 4 \implies x = -\frac{4}{3}$.
Ответ: $-\frac{4}{3}$

ж) Найдем логарифм числа 625 с основанием $\sqrt[3]{25}$. $x = \log_{\sqrt[3]{25}} 625 \implies (\sqrt[3]{25})^x = 625$. Представим основание и число как степени 5: $\sqrt[3]{25} = (25)^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2/3}$, $625 = 5^4$. $(5^{2/3})^x = 5^4$. $5^{2x/3} = 5^4$. $\frac{2x}{3} = 4 \implies 2x = 12 \implies x=6$.
Ответ: 6

з) Найдем логарифм числа 625 с основанием 0,04. Сначала преобразуем 0,04 в обыкновенную дробь: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$. $x = \log_{1/25} 625 \implies (\frac{1}{25})^x = 625$. Представим основание и число как степени 5: $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$, $625 = 5^4$. $(5^{-2})^x = 5^4$. $5^{-2x} = 5^4$. $-2x = 4 \implies x = -2$.
Ответ: -2

и) Найдем логарифм числа 625 с основанием $5\sqrt{5}$. $x = \log_{5\sqrt{5}} 625 \implies (5\sqrt{5})^x = 625$. Представим основание и число как степени 5: $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{1/2} = 5^{1 + 1/2} = 5^{3/2}$, $625 = 5^4$. $(5^{3/2})^x = 5^4$. $5^{3x/2} = 5^4$. $\frac{3x}{2} = 4 \implies 3x = 8 \implies x = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$

к) Найдем логарифм числа 625 с основанием $25\sqrt{5}$. $x = \log_{25\sqrt{5}} 625 \implies (25\sqrt{5})^x = 625$. Представим основание и число как степени 5: $25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{1/2} = 5^{2 + 1/2} = 5^{5/2}$, $625 = 5^4$. $(5^{5/2})^x = 5^4$. $5^{5x/2} = 5^4$. $\frac{5x}{2} = 4 \implies 5x = 8 \implies x = \frac{8}{5}$.
Ответ: $\frac{8}{5}$