Номер 76, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

76. Вычислите:

a) $\cos 180^{\circ} \cdot \sin 45^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ}$;

б) $\sin(-90^{\circ}) - \sin 60^{\circ} + \cos 30^{\circ}$;

в) $\sin(-270^{\circ}) + \operatorname{tg}^2 45^{\circ}$;

г) $\cos 450^{\circ} - \cos 60^{\circ} + \operatorname{tg}^2 30^{\circ}$.

а) Для вычисления значения выражения $cos180^\circ \cdot sin45^\circ \cdot cos60^\circ$ найдем значения каждого тригонометрического множителя по отдельности, используя таблицу значений тригонометрических функций для стандартных углов.
$cos180^\circ = -1$
$sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$cos60^\circ = \frac{1}{2}$
Теперь перемножим эти значения:
$cos180^\circ \cdot sin45^\circ \cdot cos60^\circ = -1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{4}$

б) Для вычисления значения выражения $sin(-90^\circ) - sin60^\circ + cos30^\circ$ определим значение каждого слагаемого.
Функция синус является нечетной, поэтому $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
$sin(-90^\circ) = -sin(90^\circ) = -1$
Значения для других углов из таблицы:
$sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Подставим значения в исходное выражение и выполним вычисления:
$sin(-90^\circ) - sin60^\circ + cos30^\circ = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -1$
Ответ: $-1$

в) Рассмотрим выражение $sin(-270^\circ) + tg^2 45^\circ$.
Для нахождения $sin(-270^\circ)$ воспользуемся свойством нечетности синуса или его периодичностью ($360^\circ$).
Способ 1 (периодичность): $sin(-270^\circ) = sin(-270^\circ + 360^\circ) = sin(90^\circ) = 1$.
Способ 2 (нечетность): $sin(-270^\circ) = -sin(270^\circ) = -(-1) = 1$.
Теперь найдем значение тангенса в квадрате: $tg^2 45^\circ$ означает $(tg45^\circ)^2$.
$tg45^\circ = 1$, следовательно $tg^2 45^\circ = 1^2 = 1$.
Сложим полученные значения:
$1 + 1 = 2$
Ответ: $2$

г) Вычислим значение выражения $cos450^\circ - cos60^\circ + tg^2 30^\circ$.
Функция косинус является периодической с периодом $360^\circ$, поэтому $cos(\alpha) = cos(\alpha - 360^\circ n)$, где n - целое число.
$cos450^\circ = cos(450^\circ - 360^\circ) = cos(90^\circ) = 0$.
Найдем значения остальных слагаемых из таблицы:
$cos60^\circ = \frac{1}{2}$
$tg^2 30^\circ = (tg30^\circ)^2 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$.
Подставим все значения в исходное выражение:
$cos450^\circ - cos60^\circ + tg^2 30^\circ = 0 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$-\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = -\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{-3+2}{6} = -\frac{1}{6}$
Ответ: $-\frac{1}{6}$