Номер 89, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

89. Воспользуйтесь определением арксинуса, арккосинуса, арктангенса или арккотангенса числа и вычислите:

а) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2};$

б) $\arcsin 1;$

в) $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right);$

г) $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2};$

д) $\arccos (-1);$

е) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

ж) $\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3};$

з) $\operatorname{arctg} (-1);$

и) $\operatorname{arctg} (-\sqrt{3});$

к) $\operatorname{arcctg} \sqrt{3};$

л) $\operatorname{arcctg} 1;$

м) $\operatorname{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right).$

а) По определению арксинуса, $ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} $ – это угол $ \alpha $ из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Поскольку $ \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, то искомое значение равно $ \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} $.

б) По определению арксинуса, $ \arcsin1 $ – это угол $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, для которого $ \sin\alpha = 1 $. Этим углом является $ \frac{\pi}{2} $, так как $ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $ и $ \frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $.
Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

в) По определению арксинуса, $ \arcsin(-\frac{1}{2}) $ – это угол $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, для которого $ \sin\alpha = -\frac{1}{2} $. Используем свойство нечетности арксинуса: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $. Таким образом, $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) $. Так как $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, то $ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $. Следовательно, искомое значение равно $ -\frac{\pi}{6} $. Это значение принадлежит промежутку $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{6} $.

г) По определению арккосинуса, $ \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} $ – это угол $ \alpha $ из промежутка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{4} $, так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \frac{\pi}{4} \in [0; \pi] $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} $.

д) По определению арккосинуса, $ \arccos(-1) $ – это угол $ \alpha \in [0; \pi] $, для которого $ \cos\alpha = -1 $. Этим углом является $ \pi $, так как $ \cos\pi = -1 $ и $ \pi \in [0; \pi] $.
Ответ: $ \pi $.

е) По определению арккосинуса, $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $ – это угол $ \alpha \in [0; \pi] $, для которого $ \cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Используем свойство $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $. Таким образом, $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) $. Так как $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то $ \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6} $. Следовательно, искомое значение равно $ \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $. Это значение принадлежит промежутку $ [0; \pi] $.
Ответ: $ \frac{5\pi}{6} $.

ж) По определению арктангенса, $ \text{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} $ – это угол $ \alpha $ из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{3} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{6} $, так как $ \text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $ и $ \frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $.
Ответ: $ \frac{\pi}{6} $.

з) По определению арктангенса, $ \text{arctg}(-1) $ – это угол $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, для которого $ \text{tg}\alpha = -1 $. Используем свойство нечетности арктангенса: $ \text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x) $. Таким образом, $ \text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1) $. Так как $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $, то $ \text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} $. Следовательно, искомое значение равно $ -\frac{\pi}{4} $. Это значение принадлежит промежутку $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{4} $.

и) По определению арктангенса, $ \text{arctg}(-\sqrt{3}) $ – это угол $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, для которого $ \text{tg}\alpha = -\sqrt{3} $. Используем свойство нечетности арктангенса: $ \text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3}) $. Так как $ \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $, то $ \text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} $. Следовательно, искомое значение равно $ -\frac{\pi}{3} $. Это значение принадлежит промежутку $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{3} $.

к) По определению арккотангенса, $ \text{arcctg}\sqrt{3} $ – это угол $ \alpha $ из промежутка $ (0; \pi) $, котангенс которого равен $ \sqrt{3} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{6} $, так как $ \text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $ и $ \frac{\pi}{6} \in (0; \pi) $.
Ответ: $ \frac{\pi}{6} $.

л) По определению арккотангенса, $ \text{arcctg}1 $ – это угол $ \alpha \in (0; \pi) $, для которого $ \text{ctg}\alpha = 1 $. Этим углом является $ \frac{\pi}{4} $, так как $ \text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1 $ и $ \frac{\pi}{4} \in (0; \pi) $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} $.

м) По определению арккотангенса, $ \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) $ – это угол $ \alpha \in (0; \pi) $, для которого $ \text{ctg}\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3} $. Используем свойство $ \text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x) $. Таким образом, $ \text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) $. Так как $ \text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, то $ \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3} $. Следовательно, искомое значение равно $ \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $. Это значение принадлежит промежутку $ (0; \pi) $.
Ответ: $ \frac{2\pi}{3} $.