Номер 94, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

94. Найдите значение выражения:

а) $(\sqrt[6]{10})^6;$

б) $(\sqrt[3]{5})^3;$

в) $(-\sqrt[4]{7})^4;$

г) $(\sqrt[3]{-2})^3;$

д) $(2\sqrt[6]{5})^6;$

е) $(-\frac{2}{3}\sqrt[4]{12})^4;$

ж) $(0,1\sqrt[5]{-2})^5;$

з) $(-\frac{3}{4}\sqrt[4]{7})^4.$

а) По определению корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В данном случае $n=6$ и $a=10$. Следовательно, выражение $(\sqrt[6]{10})^6$ равно подкоренному выражению.
$(\sqrt[6]{10})^6 = 10$.
Ответ: 10

б) Аналогично предыдущему пункту, по определению корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Здесь $n=3$ и $a=5$.
$(\sqrt[3]{5})^3 = 5$.
Ответ: 5

в) Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$. Так как показатель степени 4 — четное число, отрицательный знак при возведении в степень исчезнет.
$(-\sqrt[4]{7})^4 = (-1)^4 \cdot (\sqrt[4]{7})^4 = 1 \cdot 7 = 7$.
Ответ: 7

г) Корень нечетной степени из отрицательного числа определен. По определению корня n-ой степени для нечетного n, $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
$(\sqrt[3]{-2})^3 = -2$.
Ответ: -2

д) Используем свойство возведения произведения в степень: $(ab)^n = a^n b^n$.
$(2\sqrt[6]{5})^6 = 2^6 \cdot (\sqrt[6]{5})^6$.
Вычисляем каждую часть отдельно: $2^6 = 64$ и $(\sqrt[6]{5})^6 = 5$.
Перемножаем результаты: $64 \cdot 5 = 320$.
Ответ: 320

е) Применяем свойство $(ab)^n = a^n b^n$. Так как показатель степени 4 — четное число, знак минус становится плюсом.
$(-\frac{2}{3}\sqrt[4]{12})^4 = (-\frac{2}{3})^4 \cdot (\sqrt[4]{12})^4 = \frac{2^4}{3^4} \cdot 12 = \frac{16}{81} \cdot 12$.
Сокращаем полученное выражение: $\frac{16 \cdot 12}{81} = \frac{16 \cdot (3 \cdot 4)}{27 \cdot 3} = \frac{16 \cdot 4}{27} = \frac{64}{27}$.
Ответ: $\frac{64}{27}$

ж) Используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$. Показатель степени 5 — нечетное число, поэтому знак сохранится.
$(0,1\sqrt[5]{-2})^5 = (0,1)^5 \cdot (\sqrt[5]{-2})^5$.
Вычисляем каждую часть: $(0,1)^5 = 0,00001$ и $(\sqrt[5]{-2})^5 = -2$.
Перемножаем результаты: $0,00001 \cdot (-2) = -0,00002$.
Ответ: -0,00002

з) Применяем свойство $(ab)^n = a^n b^n$. Показатель степени 4 — четное число, поэтому минус исчезает.
$(-\frac{3}{4}\sqrt[4]{7})^4 = (-\frac{3}{4})^4 \cdot (\sqrt[4]{7})^4 = \frac{3^4}{4^4} \cdot 7 = \frac{81}{256} \cdot 7$.
Выполняем умножение: $\frac{81 \cdot 7}{256} = \frac{567}{256}$.
Ответ: $\frac{567}{256}$