Номер 100, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

100. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt[8]{(-15)^8}$;

б) $\sqrt[3]{(-2)^3}$;

в) $\sqrt[4]{(-3)^4}$;

г) $\sqrt[5]{(-19)^5}$.

а) Для нахождения значения выражения $\sqrt[8]{(-15)^8}$ используется свойство корня $n$-ой степени. Важно различать случаи, когда показатель корня $n$ является четным или нечетным числом.
Основное тождество для корней четной степени: $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$, где $k$ - натуральное число. Это связано с тем, что результат извлечения корня четной степени (арифметический корень) должен быть неотрицательным числом.
В данном выражении показатель корня $n=8$ является четным числом. Подкоренное выражение — это $(-15)^8$. Применяя указанное выше свойство, получаем:
$\sqrt[8]{(-15)^8} = |-15| = 15$.
Можно рассуждать и по-другому: сначала выполнить возведение в степень. Так как степень 8 четная, то $(-15)^8 = 15^8$. Тогда выражение примет вид $\sqrt[8]{15^8}$, что равно 15.
Ответ: 15

б) Для выражения $\sqrt[3]{(-2)^3}$ мы имеем дело с корнем нечетной степени.
Основное тождество для корней нечетной степени: $\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a$ для любого действительного числа $a$. В отличие от корней четной степени, результат может быть отрицательным.
В нашем случае показатель корня $n=3$ — нечетное число. Поэтому можно сразу применить тождество:
$\sqrt[3]{(-2)^3} = -2$.
Для проверки можно сначала вычислить значение под корнем: $(-2)^3 = -8$. Затем извлечь кубический корень: $\sqrt[3]{-8} = -2$, так как $(-2)^3 = -8$.
Ответ: -2

в) Выражение $\sqrt[4]{(-3)^4}$ содержит корень четной степени, так как $n=4$.
Используем тождество для корней четной степени: $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$.
Применяя это свойство к нашему выражению, получаем:
$\sqrt[4]{(-3)^4} = |-3| = 3$.
Проверим, выполнив действия по порядку:
1. Возводим в степень: $(-3)^4 = 81$.
2. Извлекаем корень: $\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.
Ответ: 3

г) В выражении $\sqrt[5]{(-19)^5}$ показатель корня $n=5$ является нечетным.
Для корней нечетной степени справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$.
Применяя это свойство, мы можем сразу записать результат:
$\sqrt[5]{(-19)^5} = -19$.
Корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом, поэтому операция извлечения корня "сохраняет" знак подкоренного выражения.
Ответ: -19