Номер 101, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

101. Вычислите значение выражения:

a) $\sqrt[3]{-5^3} + \sqrt[3]{(-5)^3}$;

б) $\sqrt[6]{(-3)^6} - \sqrt[9]{(-3)^9}$;

в) $\sqrt[10]{(-2)^{10}} + \sqrt[7]{(-2)^7}$.

Для решения данных выражений необходимо использовать свойства арифметического корня n-ой степени.

• Для нечетного показателя корня $n = 2k+1$: $\sqrt[n]{a^n} = a$ для любого действительного числа $a$.
• Для четного показателя корня $n = 2k$: $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для любого действительного числа $a$.

а) $\sqrt[3]{-5^3} + \sqrt[3]{(-5)^3}$

Разберем каждый член выражения по отдельности.

Первый член: $\sqrt[3]{-5^3}$. Сначала вычислим подкоренное выражение: $-5^3 = -(5 \cdot 5 \cdot 5) = -125$. Тогда корень кубический из этого числа: $\sqrt[3]{-125} = -5$.

Второй член: $\sqrt[3]{(-5)^3}$. Здесь показатель корня $n=3$ — нечетное число. Применяя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для нечетного $n$, получаем: $\sqrt[3]{(-5)^3} = -5$.

Теперь сложим полученные значения:

$-5 + (-5) = -5 - 5 = -10$.

Ответ: -10

б) $\sqrt[6]{(-3)^6} - \sqrt[9]{(-3)^9}$

Разберем каждый член выражения по отдельности.

Первый член: $\sqrt[6]{(-3)^6}$. Здесь показатель корня $n=6$ — четное число. Применяя свойство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$, получаем: $\sqrt[6]{(-3)^6} = |-3| = 3$.

Второй член: $\sqrt[9]{(-3)^9}$. Здесь показатель корня $n=9$ — нечетное число. Применяя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для нечетного $n$, получаем: $\sqrt[9]{(-3)^9} = -3$.

Теперь выполним вычитание:

$3 - (-3) = 3 + 3 = 6$.

Ответ: 6

в) $\sqrt[10]{(-2)^{10}} + \sqrt[7]{(-2)^7}$

Разберем каждый член выражения по отдельности.

Первый член: $\sqrt[10]{(-2)^{10}}$. Здесь показатель корня $n=10$ — четное число. Применяя свойство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$, получаем: $\sqrt[10]{(-2)^{10}} = |-2| = 2$.

Второй член: $\sqrt[7]{(-2)^7}$. Здесь показатель корня $n=7$ — нечетное число. Применяя свойство $\sqrt[n]{a^n} = a$ для нечетного $n$, получаем: $\sqrt[7]{(-2)^7} = -2$.

Теперь сложим полученные значения:

$2 + (-2) = 2 - 2 = 0$.

Ответ: 0