Номер 104, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

104. Вычислите:

а) $(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8})^2;$

б) $(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{27})^2.$

a) Для вычисления значения выражения $(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8})^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = \sqrt[4]{2}$ и $b = \sqrt[4]{8}$.

Подставим значения в формулу:

$(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8})^2 = (\sqrt[4]{2})^2 + 2 \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} + (\sqrt[4]{8})^2$

Теперь упростим каждое слагаемое:

1. Первый член: $(\sqrt[4]{2})^2 = (2^{1/4})^2 = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

2. Второй член: $2 \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = 2 \cdot \sqrt[4]{2 \cdot 8} = 2 \cdot \sqrt[4]{16}$. Так как $16 = 2^4$, то $\sqrt[4]{16} = 2$. Следовательно, второй член равен $2 \cdot 2 = 4$.

3. Третий член: $(\sqrt[4]{8})^2 = (8^{1/4})^2 = 8^{2/4} = 8^{1/2} = \sqrt{8}$. Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Сложим полученные результаты:

$\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2} = 4 + (\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 4 + 3\sqrt{2}$.

Ответ: $4 + 3\sqrt{2}$.

б) Для вычисления значения выражения $(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{27})^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = \sqrt[4]{3}$ и $b = \sqrt[4]{27}$.

Подставим значения в формулу:

$(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{27})^2 = (\sqrt[4]{3})^2 - 2 \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{27} + (\sqrt[4]{27})^2$

Упростим каждое слагаемое по отдельности:

1. Первый член: $(\sqrt[4]{3})^2 = (3^{1/4})^2 = 3^{2/4} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.

2. Второй член: $-2 \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{27} = -2 \cdot \sqrt[4]{3 \cdot 27} = -2 \cdot \sqrt[4]{81}$. Так как $81 = 3^4$, то $\sqrt[4]{81} = 3$. Следовательно, второй член равен $-2 \cdot 3 = -6$.

3. Третий член: $(\sqrt[4]{27})^2 = (27^{1/4})^2 = 27^{2/4} = 27^{1/2} = \sqrt{27}$. Упростим корень: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Теперь подставим упрощенные значения обратно в выражение:

$\sqrt{3} - 6 + 3\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) - 6 = 4\sqrt{3} - 6$.

Ответ: $4\sqrt{3} - 6$.