Номер 107, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

107. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{10}{\sqrt[3]{10}}$

б) $\frac{14}{\sqrt[3]{49}}$

в) $\frac{15}{\sqrt[4]{625}}$

г) $\frac{6}{\sqrt[7]{64}}$

а)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{10}{\sqrt[3]{10}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы в знаменателе исчез корень. В данном случае знаменатель равен $\sqrt[3]{10^1}$. Чтобы получить под корнем куб числа, нужно домножить на $\sqrt[3]{10^2}$ или $\sqrt[3]{100}$.

Выполним умножение:

$\frac{10}{\sqrt[3]{10}} = \frac{10 \cdot \sqrt[3]{10^2}}{\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{10^2}} = \frac{10 \sqrt[3]{100}}{\sqrt[3]{10 \cdot 100}} = \frac{10 \sqrt[3]{100}}{\sqrt[3]{1000}}$

Так как $\sqrt[3]{1000} = 10$, получаем:

$\frac{10 \sqrt[3]{100}}{10} = \sqrt[3]{100}$

Ответ: $\sqrt[3]{100}$.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{14}{\sqrt[3]{49}}$.

Сначала представим подкоренное выражение в знаменателе как степень: $49 = 7^2$. Таким образом, знаменатель равен $\sqrt[3]{7^2}$.

Чтобы избавиться от кубического корня, нам нужно получить под корнем $7^3$. Для этого домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{7^{3-2}} = \sqrt[3]{7}$.

$\frac{14}{\sqrt[3]{49}} = \frac{14}{\sqrt[3]{7^2}} = \frac{14 \cdot \sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7^2} \cdot \sqrt[3]{7}} = \frac{14 \sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7^3}}$

Так как $\sqrt[3]{7^3} = 7$, получаем:

$\frac{14 \sqrt[3]{7}}{7} = 2\sqrt[3]{7}$

Ответ: $2\sqrt[3]{7}$.

в)

Рассмотрим дробь $\frac{15}{\sqrt[4]{625}}$.

В этом случае знаменатель $\sqrt[4]{625}$ можно вычислить точно. Известно, что $5^4 = 625$.

Следовательно, $\sqrt[4]{625} = 5$.

Знаменатель является рациональным числом, поэтому иррациональности нет. Просто разделим числитель на знаменатель:

$\frac{15}{5} = 3$

Ответ: $3$.

г)

Рассмотрим дробь $\frac{6}{\sqrt[7]{64}}$.

Представим подкоренное выражение в знаменателе в виде степени: $64 = 2^6$. Знаменатель равен $\sqrt[7]{2^6}$.

Чтобы избавиться от корня седьмой степени, нам нужно получить под корнем $2^7$. Для этого домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[7]{2^{7-6}} = \sqrt[7]{2}$.

$\frac{6}{\sqrt[7]{64}} = \frac{6}{\sqrt[7]{2^6}} = \frac{6 \cdot \sqrt[7]{2}}{\sqrt[7]{2^6} \cdot \sqrt[7]{2}} = \frac{6 \sqrt[7]{2}}{\sqrt[7]{2^7}}$

Так как $\sqrt[7]{2^7} = 2$, получаем:

$\frac{6 \sqrt[7]{2}}{2} = 3\sqrt[7]{2}$

Ответ: $3\sqrt[7]{2}$.