Номер 106, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

106. Сократите дробь:

а) $ \frac{\sqrt[3]{5}-5}{\sqrt[3]{5}} $;

б) $ \frac{4\sqrt[4]{3}+3}{6+\sqrt[4]{48}} $;

в) $ \frac{\sqrt[3]{9}-\sqrt{5}}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[4]{5}} $.

а) В дроби $\frac{\sqrt[3]{5} - 5}{\sqrt[3]{5}}$ представим число 5 в числителе как $(\sqrt[3]{5})^3$.
$\frac{\sqrt[3]{5} - (\sqrt[3]{5})^3}{\sqrt[3]{5}}$
Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{5}$ за скобки:
$\frac{\sqrt[3]{5}(1 - (\sqrt[3]{5})^2)}{\sqrt[3]{5}}$
После сокращения на $\sqrt[3]{5}$ получаем:
$1 - (\sqrt[3]{5})^2 = 1 - \sqrt[3]{5^2} = 1 - \sqrt[3]{25}$.
Ответ: $1 - \sqrt[3]{25}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt[4]{3} + 3}{6 + \sqrt[4]{48}}$ и упростим ее знаменатель.
Преобразуем $\sqrt[4]{48}$, разложив подкоренное выражение на множители: $48 = 16 \cdot 3$.
$\sqrt[4]{48} = \sqrt[4]{16 \cdot 3} = 2\sqrt[4]{3}$.
Дробь примет вид:
$\frac{\sqrt[4]{3} + 3}{6 + 2\sqrt[4]{3}}$
Вынесем общий множитель 2 за скобки в знаменателе:
$\frac{\sqrt[4]{3} + 3}{2(3 + \sqrt[4]{3})}$
Сократив дробь на общий множитель $(3 + \sqrt[4]{3})$, получим:
$\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) В дроби $\frac{\sqrt[3]{9} - \sqrt{5}}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[4]{5}}$ представим числитель в виде разности квадратов.
Заметим, что $\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = (\sqrt[3]{3})^2$ и $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} = (5^{\frac{1}{4}})^2 = (\sqrt[4]{5})^2$.
Тогда дробь можно переписать так:
$\frac{(\sqrt[3]{3})^2 - (\sqrt[4]{5})^2}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[4]{5}}$
Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, разложим числитель на множители:
$\frac{(\sqrt[3]{3} - \sqrt[4]{5})(\sqrt[3]{3} + \sqrt[4]{5})}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[4]{5}}$
После сокращения на общий множитель $(\sqrt[3]{3} - \sqrt[4]{5})$ получаем:
$\sqrt[3]{3} + \sqrt[4]{5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3} + \sqrt[4]{5}$.