Номер 109, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

109. Представьте степень с рациональным показателем в виде корня:

а) $5^{\frac{2}{7}}$;

б) $3^{\frac{1}{2}}$;

в) $7^{1.2}$;

г) $10^{-\frac{2}{3}}.$

Для преобразования степени с рациональным показателем в корень используется формула $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a > 0$, $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число ($n \ge 2$).

а)

Дано выражение $5^{\frac{2}{7}}$.

В данном случае основание $a=5$, числитель показателя $m=2$, а знаменатель показателя $n=7$.

Применяя формулу, получаем: $5^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{5^2}$.

Поскольку $5^2 = 25$, то окончательный вид выражения: $\sqrt[7]{25}$.

Ответ: $\sqrt[7]{25}$.

б)

Дано выражение $3^{\frac{1}{2}}$.

Здесь основание $a=3$, числитель показателя $m=1$, а знаменатель показателя $n=2$.

Применяя формулу, получаем: $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3^1}$.

Корень второй степени (квадратный корень) принято записывать без показателя $2$, а $3^1=3$. Таким образом, выражение равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

в)

Дано выражение $7^{1.2}$.

Сначала необходимо представить десятичный показатель $1.2$ в виде обыкновенной дроби:

$1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

Таким образом, исходное выражение можно записать как $7^{\frac{6}{5}}$.

Здесь основание $a=7$, числитель показателя $m=6$, а знаменатель показателя $n=5$.

Применяя формулу, получаем: $7^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{7^6}$.

Ответ: $\sqrt[5]{7^6}$.

г)

Дано выражение $10^{-\frac{2}{3}}$.

Отрицательный показатель степени означает обратную величину, согласно свойству $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$:

$10^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{10^{\frac{2}{3}}}$.

Теперь преобразуем знаменатель $10^{\frac{2}{3}}$ в корень. Здесь $a=10$, $m=2$, $n=3$.

$10^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{10^2} = \sqrt[3]{100}$.

Подставляем полученное выражение обратно в дробь:

$10^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{100}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{100}}$.