Номер 111, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

111. Найдите значение выражения:

а) $32^{\frac{2}{5}}$;

б) $(0,36)^{-\frac{1}{2}}$;

в) $\left(2\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{-\frac{1}{3}}$;

г) $9^{\frac{1}{2}} \cdot 81^{\frac{3}{4}} \cdot \left(3\frac{3}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}$.

а) Чтобы найти значение выражения $32^{\frac{2}{5}}$, представим основание 32 в виде степени с основанием 2, так как $32 = 2^5$. Затем воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

б) Для вычисления $(0,36)^{-\frac{1}{2}}$ преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,36 = \frac{36}{100}$.
Теперь применим свойства степени с рациональным показателем. Отрицательный показатель степени переворачивает дробь: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Показатель $\frac{1}{2}$ соответствует извлечению квадратного корня.
$(0,36)^{-\frac{1}{2}} = (\frac{36}{100})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{100}{36})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{100}{36}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{36}} = \frac{10}{6}$.
Сократив дробь, получаем $\frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$

в) Рассмотрим выражение $(2\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} : 8^{-\frac{1}{3}}$. Вычислим значение каждого члена по отдельности.
1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
$(2\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} = (\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.
2. Преобразуем второй член: $8 = 2^3$.
$8^{-\frac{1}{3}} = (2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
3. Выполним деление полученных результатов:
$\frac{3}{2} : \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3$.
Ответ: 3

г) Найдем значение выражения $9^{\frac{1}{2}} \cdot 81^{\frac{3}{4}} \cdot (3\frac{3}{8})^{-\frac{1}{3}}$. Вычислим каждый множитель.
1. $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.
2. $81^{\frac{3}{4}}$. Так как $81 = 3^4$, то $(3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$.
3. $(3\frac{3}{8})^{-\frac{1}{3}}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.
$(\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$.
4. Теперь перемножим все полученные значения:
$3 \cdot 27 \cdot \frac{2}{3} = (3 \cdot \frac{2}{3}) \cdot 27 = 2 \cdot 27 = 54$.
Ответ: 54