Номер 108, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

108. Упростите выражение:

a) $ \frac{10}{\sqrt[3]{4}} - \sqrt[3]{2}; $

б) $ \sqrt[5]{3} + \frac{12}{\sqrt[5]{81}}. $

а) $ \frac{10}{\sqrt[3]{4}} - \sqrt[3]{2} $

Для упрощения выражения необходимо привести оба члена к общему виду. Упростим первый член, избавившись от иррациональности в знаменателе.

Знаменатель дроби $ \sqrt[3]{4} $ можно представить как $ \sqrt[3]{2^2} $. Чтобы избавиться от корня в знаменателе, нужно домножить числитель и знаменатель на $ \sqrt[3]{2} $, чтобы под корнем в знаменателе получилось число в третьей степени ($2^3$).

$ \frac{10}{\sqrt[3]{4}} = \frac{10}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{10 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{10\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{10\sqrt[3]{2}}{2} = 5\sqrt[3]{2} $

Теперь подставим упрощенный член обратно в исходное выражение:

$ 5\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} $

Выполним вычитание, так как у нас одинаковые подкоренные выражения:

$ (5-1)\sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2} $

Ответ: $ 4\sqrt[3]{2} $.

б) $ \sqrt[5]{3} + \frac{12}{\sqrt[5]{81}} $

Чтобы упростить это выражение, приведем второй член к виду, который позволит сложить его с первым. Для этого упростим дробь, избавившись от иррациональности в знаменателе.

Представим число 81 в знаменателе как степень числа 3: $ 81 = 3^4 $. Таким образом, $ \sqrt[5]{81} = \sqrt[5]{3^4} $. Чтобы избавиться от корня в знаменателе, нужно домножить числитель и знаменатель на $ \sqrt[5]{3} $, чтобы под корнем получилось число в пятой степени ($3^5$).

$ \frac{12}{\sqrt[5]{81}} = \frac{12}{\sqrt[5]{3^4}} = \frac{12 \cdot \sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{3^4} \cdot \sqrt[5]{3}} = \frac{12\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{3^5}} = \frac{12\sqrt[5]{3}}{3} = 4\sqrt[5]{3} $

Теперь подставим упрощенный член обратно в исходное выражение:

$ \sqrt[5]{3} + 4\sqrt[5]{3} $

Сложим члены с одинаковыми подкоренными выражениями:

$ (1+4)\sqrt[5]{3} = 5\sqrt[5]{3} $

Ответ: $ 5\sqrt[5]{3} $.