Номер 103, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

103. Упростите выражение:

a) $\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{2};$

б) $5\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{256};$

в) $2\sqrt[3]{320} - 3\sqrt[3]{625}.$

а) $\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{2}$

Для упрощения выражения необходимо привести оба члена к общему подкоренному выражению. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в первом члене. Число 16 можно представить как произведение $8 \cdot 2$. Поскольку $8$ является кубом числа $2$ ($8 = 2^3$), мы можем упростить корень:

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:

$2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}$

Выполним вычитание, рассматривая $\sqrt[3]{2}$ как общую переменную:

$(2 - 1)\sqrt[3]{2} = 1 \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2}$

Ответ: $\sqrt[3]{2}$.

б) $5\sqrt[7]{2} + \sqrt[7]{256}$

Чтобы сложить эти два члена, нужно, чтобы их подкоренные выражения были одинаковы. Упростим второй член $\sqrt[7]{256}$. Разложим число 256 на множители. Мы знаем, что $256 = 2^8$.

Используя свойство корней, представим $2^8$ как $2^7 \cdot 2^1$:

$\sqrt[7]{256} = \sqrt[7]{2^8} = \sqrt[7]{2^7 \cdot 2} = \sqrt[7]{2^7} \cdot \sqrt[7]{2} = 2\sqrt[7]{2}$

Теперь подставим упрощенный член в исходное выражение:

$5\sqrt[7]{2} + 2\sqrt[7]{2}$

Сложим коэффициенты при одинаковых корнях:

$(5 + 2)\sqrt[7]{2} = 7\sqrt[7]{2}$

Ответ: $7\sqrt[7]{2}$.

в) $2\sqrt[3]{320} - 3\sqrt[3]{625}$

Упростим каждый член выражения по отдельности, вынося множители из-под знака корня.

Для первого члена, $2\sqrt[3]{320}$, найдем кубический множитель числа 320. Разложим 320 на простые множители: $320 = 32 \cdot 10 = 2^5 \cdot (2 \cdot 5) = 2^6 \cdot 5$. Мы можем представить $2^6$ как $(2^2)^3 = 4^3 = 64$. Таким образом, $320 = 64 \cdot 5$.

$\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{64 \cdot 5} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{5} = 4\sqrt[3]{5}$

Следовательно, первый член равен $2 \cdot (4\sqrt[3]{5}) = 8\sqrt[3]{5}$.

Для второго члена, $3\sqrt[3]{625}$, найдем кубический множитель числа 625. Разложим 625 на простые множители: $625 = 5^4 = 5^3 \cdot 5 = 125 \cdot 5$.

$\sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{125 \cdot 5} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{5} = 5\sqrt[3]{5}$

Следовательно, второй член равен $3 \cdot (5\sqrt[3]{5}) = 15\sqrt[3]{5}$.

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$8\sqrt[3]{5} - 15\sqrt[3]{5}$

Выполним вычитание:

$(8 - 15)\sqrt[3]{5} = -7\sqrt[3]{5}$

Ответ: $-7\sqrt[3]{5}$.